Значення ДИФЕРЕНЦІАЛЬНА ГЕОМЕТРІЯ БАГАТООБРАЗІВ у математичній енциклопедії
Значення ДИФЕРЕНЦІЙНА ГЕОМЕТРІЯ БАГАТООБРАЗІВ у математичній енциклопедії:
- розділ диференціальної геометрії, що вивчає різні інфінітезімальні структури на різноманітті та їх зв'язку зі структурою різноманіття та його топологією.
На середину 19 в. в результаті виникнення неевклідової геометрії Лобачевського, багатовимірної геометрії Грассмана, а також розвитку проективної геометрії та геометрії в комплексній області стало ясно, що звична евклідова геометрія не є єдино можливою, і в математиці з користю можна розвивати інші неевклідові геометрії, незалежно від їхнього ставлення до геометрії фізичного простору
У 1854 Б. Ріман (В. Riemann) у лекції "Про гіпотези, що лежать в основі геометрії" запропонував нову, дуже плідну концепцію "різноманітності" (див.Риманово простір).самим він започаткував риманову геометрію, що є найважливішою і найбільш розробленою частиною Д. м. м. Концепція Рімана не тільки дозволила одноманітно описати широкий клас геометрій (включаючи евклідову геометрію і неевклідову геометрію Лобачевського), а й дала математич. апарат, в рамках якого різноманітні завдання математич. фізики та аналізу, пов'язані з диференціальними рівняннями, отримали геометрич. трактування, що дозволило застосовувати їх вирішення різні геометрич. та топологіч. міркування, відкривши нові можливості застосування геометрії до аналізу. Саме в рамках риманової геометрії А. Ейнштейну (A. Einstein) вдалося реалізувати ідеї про фізичні. просторі як про континуум, властивості якого визначаються розподілом матерії. Римановим простором зв.диференційоване різноманіття М,у якого в кожному дотичному просторіТ р Мзадана евклідова метрикаgp(тобто позитивно визначений скалярний твір), що гладко залежить від точки Наявність у дотичному просторіТ р Мриманова простору Мскалярного твору дозволяє за формулами евклідової геометрії визначити кут між інфінітезимальними кривими (тобто векторами зТ р М),довжину інфінітезимальної кривої, а також обсяг k-мірного паралелепіпеда вТ Р М,а потім , за допомогою інтегрування, довжину гладкої кривої на Мі об'єм k-вимірного підбагачення вМ.Це, у свою чергу, дозволяє розглядати в рамках риманової геометрії різні варіаційні завдання і, зокрема, визначити в рімановому просторі поняття геодезичної (абогеодезичної лінії).як кривої екстремальної довжини імінімальної поверхні,як підмножини екстремального об'єму.
Вивчення геодезичних риманова простору є одним з основних завдань сучасної (глобальної) риманової геометрії. Важливість її для додатків визначається тим, що різноманітні динамічні. системи фізики інтерпретуються як рівномірний рух геодезичним того чи іншого псевдориманова простору. До таких систем відносяться, напр., Рухи пробних тіл (див.Геодезичних гіпотеза)в загальній теорії відносності, поширення світла в неоднорідному середовищі в наближенні геометричної оптики, різні системи класичної механіки. Було виявлено, що деякі важливі рівняння з приватними похідними (рівняння руху ідеальної рідини і рівняння Ейнштейна загальної теорії відносності) інтерпретуються як рівняння геодезичних для деяких нескінченномірних риманових просторів, званих також гільбертовими різноманіттями [1]. ). Ці відкриття стимулювали розвитокГеометрія нескінченномірних різноманітностей - глобальний аналіз.
Рівняння геодезичних вдається порожнистістю проінтегрувати лише в окремих випадках. У зв'язку з цим важливу роль набувають геометричні. та топологіч. методи якісного вивчення поведінки геодезичних. Найважливішим серед них є створена М. Морсом варіаційна теорія геодезичних (див.Морса теорія).
Узагальнення теорії Морса на псевдорпманові простори призвело до доказу теорем сингулярності, які стверджують, що в рамках загальної теорії відносності фізичний простір-час, як правило, повинен володіти сингулярністю (неповними геодезичними). Фізично сингулярності інтерпретуються, напр., як " див. [7]).
Поведінка геодезичного риманова простору значною мірою визначається його кривизни тензором - тензором Рімана - геометричним об'єктом, що характеризує відхилення риманова простору від евклідова. Подібно догаусової кривизниповерхні, узагальненням якої є, тензор кривизни ріманова простору Мв точці хопределяет властивості простору Мв околиці точких.Більш того, тензор кривизни несе багату інформацію про глобальні властивості ріманова простору та про його топологію, напр, профундаментальну групу,проБеммі числахта прохарактеристичні класи.Вивчення зв'язку між локальними властивостями тензора кривизни та глобальними властивостями риманова простору становить одне з головних завдань сучасної глобальної риманової геометрії.
Важливим напрямом дослідження ріманових просторів, розпочатим роботами С. Лі (S. Lie) і В. Кіллінга (W. Killing), є вивчення його групи рухів (тобто перетворень, що зберігають довжини кривих), яка завжди є група Лі .Багато риманові простору мають досить багатою групою рухів, причому наявність такої групи виявляється дуже корисним при вивченні цілого ряду геометричних. питань. Наявність транзитивної групи рухів G дозволяє звести вивчення геометрії та топології простору до питань теорії груп Лі (див.Однорідний простір).
Опис (зв'язковий) групи рухів риманова простору (М, g) зводиться до опису алгебри Лі інфінітезимальних рухів (або, інакше,Кіллінга векторів),визначених як поля , Швидкості однопараметрич. підгруп групиG.Важливу роль відіграють якісні геометричні. методи вивчення кілінгових полів та з'ясування зв'язку між кілінговими полями та геометрич. властивостями простору, насамперед властивостями його тензора кривизни. Так, наприклад, доводиться, що в компактному римановому просторі з негативною кривизною Річчі немає кілінгових полів; інтегральна крива кілінгового поля, що проходить через точку екстремуму його довжини, є геодезичною [16]; поведінка кілінгового поля X поблизу його нерухомих точок (крапок, деХ = 0) визначає важливий топологич. інваріант риманова простору - йогоПонтрягіна числа[19].
Особливий інтерес представляють риманові простори, що мають досить велику групу рухів. Як виявив ще в 1868 Г. Гельмгольц (Н. Helmholtz) і суворо довів С. Лі, "-мірний римановий простірМ,що володіє для даної пмаксимальної (в сенсі розмірності) групою рухів єпостійної кривизни простором(а саме, евклідовим просторомЕ n ,простором Лобачевського або сферич. простором Рімана,S n).Найбільш близькими до просторів постійної кривизни по своїм властивостям єсиметричні простори,т. е. риманові простори, в яких брало геодезич. симетрія щодо довільної точки є рухом. Ці простори мають транзитивну групу рухів і допускають класифікацію з допомогою теорії напівпростих алгебр Лі (див. [8]).
Важливу роль у диференціальній геометрії відіграє поняття коваріантної похідної тензорного поля Тна Мпо напрямку вектора до-рої ввів Г. Річчі (G. Ricci), що розвинув на основі цього поняття "абсолютне диференціальне числення" (див.Тензорний аналіз).Апарат коваріантного диференціювання виявився зручним для отримання інваріантів геометричних об'єктів. Так, знайдена Е. Крістоффелем (Е. Christoffel) та Р. Ліпшицем (R. Liepschitz) повна система інваріантів риманової метрики складається з тензора кривизни та його послідовних коваріантних похідних.
Поняття коваріантної похідної дозволяє каноніч. чином визначити в римановому просторі ряд диференціальних операторів, властивості яких брало тісно пов'язані з геометрією простору. Найважливішими з них є оператор Бельтрамі-Лапласа Д, введений Е. 1 (M,R) 1-струменевих функцій наМ,грають важливу роль у теорії диференціальних рівнянь з приватними похідними 1- го пррядка і в гамільтоновій механіці, а також оператор зовнішнього диференціювання у розшаруванні зовнішніх диференціальних форм наМ.
Успішно розвивається алгебраїч. підхід до диференціальної геометрії Як вихідне поняття розглядається не різноманіттяМ,а комутативне кільце F(кільце функцій на різноманітті), а саме різноманіття визначається в термінах кільця Fяк простір максимальних ідеалів (див. Схема ).Векторні поля на Мовизначаються як диференціювання кільця (див.Диференціальнийоператормодуля). Такий підхід дозволяє узагальнити різні результати диференціальної геометрії та спростити їх доказ, застосувати ідеї диференціальної геометрії до інших математичів. теоріям (напр., теорії кілець і модулів) і, навпаки, використовувати різні алгебраїч. результати у диференціальній геометрії (див. [17]).
Літ.:[1] Ріман Би., Вибрані твори, пров. з ньому., М.-Л., 1948; [2] Картан Еге., Геометрія риманових просторів, пров. з франц., М.-Л., 1936; [3] Каган Ст Ф., Нариси з геометрії, М., 1963, с. 437-519; [4] Рашевський П. До., Риманова геометрія та тензорний аналіз, 3 видавництва, М., 1967; [5] Арнольд Ст І., Математичні методи класичної механіки, М., 1974; [6] Ейзенхард Л. П., Ріманової геометрія, пров. з англ., М., 1948; [7] Xокінг С, Елліс Дж., Великомасштабна структура простору - часу, пров. з англ., М., 1977; [8] Xелгасон З, Диференціальна геометрія та симетричні простори, пров. з англ., М., 1964; [9] Бішоп Р.-Л., Криттенден Р.-Д ж., Геометрія різноманітностей; пров. з англ., М., 1967; [10] Стернберг З, Лекції з диференціальної геометрії, пров. з англ., М., 1970; [11] Шварц Дж., Диференціальна геометрія та топологія, пров. з англ., М., 1970; [12] Ленг З, Введення у теорію диференційованих різноманіттів, пров. з англ., М., 1967; [13] Зуланке П.. Вінтген П., Диференціальна геометрія та розшарування, пров. снем., М., 1975; [141 Уеллс Р., Диференціальне обчислення на комплексних різноманіттях, пров. з англ., М., 1976; [15] Lichnerowicz A., Geometrie des groupes de transformations, P., 1958; [16] Кобаяші S., Nomizu K., Foundations of differential geometry, v. 1-2, N. Y., 1963-69; [17] Виноградов А. М., Красильник І. С, Личагін Ст Ст, Застосування нелінійних диференціальних рівнянь, М., 1977; [18] Чжень З. З, " Успіхи матем.наук", 1973, т. 33, ст 3, с. 15 - 111; [19] Молчанов С. А., там же, 1975, т. 30, ст 1, с. 3-59.