Значення ОКАЙМЛЕННЯ МЕТОД в математичній енциклопедії
Значення ОКАЙМЛЕННЯ МЕТОД в математичній енциклопедії:
- Метод вирішення системи лінійних алгебраїч. рівняньАх= bз невиродженою матрицею, звернення матриці та обчислення визначника, заснований на рекурентному переході від вирішення задачі з матрицею
до розв'язання задачі з матрицею , що розглядається як результат облямування
Обчислювальна схема О. м. для обігу матриць така. Нехай – невироджена матриця. Для обігу матриці використовується подання
де ,
Послідовне звернення матриць A1, А2, . . ., А п за цією схемою дає матрицюА -1 .
Описана схема О. м. придатна лише для матриць з відмінними від нуля головними мінорами. У випадку слід прийняти схему О. м. з вибором головного елемента. У цій схемі в якості оточуючих рядки і стовпця беруться ті, для яких буде максимальним по модулю. Тоді обчислена матриця відрізнятиметься відА -1лише перестановкою рядків та стовпців [1].
За швидкодією О. м. не поступається найшвидшою з прямих методівзвернення матриці.
О. м. дозволяє афективно звертати трикутні матриці. Якщо - права трикутна матриця, то (1)
Обсяг обчислень у разі зменшується в 6 раз. Особливо ефективний О. м. при зверненні позитивних ермітових матриць. Для цих матриць не потрібно використовувати схему вибору головного елемента. Крім того, вони можуть бути поставлені лише половиною своїх елементів. Обчислювальна схема у разі спрощується:
Обчислювальна схема О. м. для вирішення системи полягає у наступному. Нехай,k=1,2. . . ., п;b(n,n+1) =-b.Якщо - невироджена матриця та - рішення системи
, то рішення системи виходить з уявлення
та з (2) наступним чином:
Таким чином, за рішеннями та систем з однією і тією ж матрицею та різними правими частинами легко отримати рішення системи з облямованою матрицею . Рішення вихідної системи: x (n,n+1). Воно може бути отримане рекурентним застосуванням співвідношення (4). Це зводиться до послідовного обчислення сукупності векторів, k=1,2,. . ., п, р>k, тобто
За обсягом обчислювальної роботи наведена схема О. м. рівносильна Гаусса методу, одному з найбільш швидкодіючих прямих методів вирішення систем.
О. м. дозволяє вирішувати системи підвищеного порядку за рахунок ефективного використання пам'яті ЕОМ. Це обумовлено тим, що для обчислення векторів , p>k, потрібно запам'ятовування тільки векторів , p>(k-1), і коефіцієнтів k-го рівняння системи, тобто масиву чисел довжини f(k).= k(n-k+1). (n+1). Тому для вирішення системи n-го порядку достатньо мати робоче поле довжини (n+1) (n+5)/4 (n/2) 2 . При цьому елементи матриці та правої частини можна вводити в нам'яти ЕОМ не відразу, а послідовно – по рядках.
О. м. доцільно використовувати при вирішенні системи, для якої вже раніше вирішена усічена система. Тоді співвідношення (4) відразу дає потрібне рішення.
Описана схема О. м. може бути використана для обчислення визначника. З уявлення (1) випливає, що
Рекурентне застосування цього співвідношення даєА.
Так само, як і звернення матриці, рішення системи та обчислення визначника по О. м. можливе лише для матриць з ненульовими головними мінорами. У загальному випадку тут такожпотрібно використовувати схему вибору головного елемента.
Лит.:[1] Воєводін Ст Ст, Численні методи алгебри, М., 1966; [2] Фаддєєв Д. К., Фаддєєва В. Н., Обчислювальні методи лінійної алгебри, 2 видавництва, М.-Л., 1963.