Значення ПОЗИТИВНЕ РОЗЛИННЯ в математичній енциклопедії
Значення ПОЗИТИВНЕ РОЗЛИННЯ в математичній енциклопедії:
узагальнення поняттядивізорапозитивного ступеня на ріманової поверхні. Голоморфне векторне розшарування Енад комплексним простором Xназ. позитивним (позначається E>0), якщо існує така ермітова метрикаh,що функція
на Естрого псевдовипукла поза нульовим перерізом. ЯкщоX -різноманіття, то умова позитивності виражається в термінах кривизни метрикиh.А саме,кривизни форміметрики hв розшаруванні відповідає ермітова квадратична форма Wна X зі значеннями в розшаруванні Herm Eермітових ендоморфізмів розшаруванняЕ,Умова позитивності еквівалентна тому, що Wx(u)-позитивно визначений оператор уЕ хдля будь-якого та будь-якого ненульового
У разі, колиЕ -розшарування на комплексні прямі над різноманіттямX,умова позитивності дорівнює позитивній визначеності матриці
,
деz1, . . ., zn- локальні координати наX, h>0 - функція, що задає ермітову метрику при локальній тривіалізації розшарування. Якщо Xкомпактно, то розшарування на комплексні прямі Енад Xпозитивно тоді і тільки тоді, коли Чженя клас з 1 (Е).містить замкнуту форму виду
де jab – позитивно визначена ермітова матриця. Зокрема, якщоX -риманова поверхня, то розшарування надX.визначається дивізіром ступеняd,позитивно тоді і тільки тоді, коли d>0. У разі, колиЕ -розшарування рангу >1 над різноманіттям Xрозмірності >1, розглядається також наступний вужчий клас П. р.: розшарування зв. позитивним у сенсі Накано, якщо наІснує така ермітова метрикаh,що ермітова квадратична форма Нна розшаруванні, задана формулою
де , Позитивно визначена. Приклади: дотичне розшарування до проективного просторуР nпозитивно, але при n>1 не є позитивним у сенсі Накано; розшарування на комплексні прямі надР n ,визначається гіпер-лоскістю, позитивно.
Будь-який фактор розшарування позитивного векторного розшарування є позитивним. ЯкщоЕ', Е" -позитивні (позитивні в сенсі Накано) розшарування, то і позитивні (позитивні в сенсі Накано).
Поняття "П. р." було введено у зв'язку зКодаїри теоремипро звернення в нуль для випадку розшарування на комплексні прямі, а потім узагальнено на довільні розшарування. Дещо пізніше, у зв'язку з питанням про існування вкладення в проектний простір, були виділені поняття слабо позитивного та слабко негативного розшарування.
Голоморфне векторне розшарування Енад компактним комплексним простором X зв. слабко негативним, якщо його нульовий перетин має строго псевдовопуклою околицею вЕ,тобто є винятковим аналітич. безліччю. Розшарування Еназ. слабо позитивним, якщо сполучене розшаруванняЕ*слабко негативно. У разі, колиX -риманова поверхня, поняття слабо позитивного та П. р. збігаються [5]. У випадку з позитивності випливає слабка позитивність; прикладів слабо позитивних, але з позитивних розшарування поки (1983) невідомо.
Слабка позитивність розшарування рівносильна кожному з таких властивостей: будь-якого когерентного аналітич. чка на X існує такеm0>0, що пучок при породжується глобальними перерізами; для будь-якого когерентногоаналітич. чка на X існує таке, що
всім (див. [3], [4]). Через тут позначається пучок паростків голоморфних перерізів розшаруванняЕ.Слабо позитивні розшарування аналогічні, таким чином,рясним векторним розшаруваннямз алгебраїч. геометрії та іноді зв. рясними аналітичними розшаруваннями. Слабо позитивне розшарування над простором X природним чином визначає вкладення простору X у різноманіття Грассмана і тим самим у проектний простір.
Поняття позитивного, негативного, слабо позитивного і слабко негативного розшарування природним чином узагальнюються також у разі лінійних просторів над комплексним простором X(див.Векторне аналітичне розшарування).
такожНегативне розшарування.
Лит.:[1] Веллс Р., Диференціальне обчислення на комплексних різноманіттях, пров. з англ., М., 1976; [2] Яжен Шен-Шень, Комплексні різноманіття, пров. з англ., М., 1961; [3] Підсумки науки та техніки. Алгебра. Топологія Геометрія, т. 15, М., 1977, с. 93-171; [4] Schneider M., "Abhandl. Math. Semin. Univ. Hamburg", 1978, Bd 47, S. 150-i70; [5] Umemurа Н., "Nagoya Math. J.", 1973, v. 52, p. 97-128.A. Л. Оніщик.