Значення УНІТАРНО-ЕКВІВАЛЕНТНІ ОПЕРАТОРИ вматематичної енциклопедії

Значення УНІТАРНО-ЕКВІВАЛЕНТНІ ОПЕРАТОРИ в математичній енциклопедії:

діючі в гільбертовому просторі H лінійні оператори АіВзобластями визначенняDAіDBвідповідно такі, що 1)UDA = DB, 2)UAU-lx = Bxдля будь-якого деU - унітарний оператор.Якщо АіВ -обмежені лінійні оператори, то умова 1) опускається. ЯкщоА - самосполучений оператор,то такий самий і В; якщо Аі В- обмежені оператори, то Самосполучені У. е. о. мають унітарно еквівалентні спектральні функції, тобто: Тому спектри У. е. о. мають однакову структуру: або обидва суто точкові, або обидва суто безперервні, або обидві змішані. Зокрема, у разі суто точкового спектра власні значення У.е. о. однакові і ранги власних значень збігаються, причому це не лише необхідною, а й достатньою умовою унітарної еквівалентності операторів із суто точковим спектром. Прикладом пари У. е. о. в комплексному просторі є оператор диференціювання з областю визначенняDA, що складається з абсолютно безперервних на функцій, що мають на цьому проміжку похідну, що сумується з квадратом, і оператор множення на незалежну неременнуюBx=tx(t ).Унітарним оператором, який здійснює унітарну еквівалентність, є в цьому випадкуФур'є перетворення.

Літ.:[1] Ахієзер Н. І., Глазман І. М., Теорія лінійних операторів у гільбертовому просторі, 2 видавництва, М., 1966; [2] Люстерник Л. А., Соболєв Ст І., Елементи функціонального аналізу, 2 видавництва, М., 1965; [3] Рісс Ф., Секефальві-Надь Би., Лекції з функціонального аналізу, пров. з франц., 2 видавництва, М., 1979.

---