Звичайні диференціальні рівняння
Система звичайних диференціальних рівнянь називається автономною, якщо незалежна змінна не входить у систему.
Розглянемо автономні системи другого порядку: Вважатимемо, що праві частини системи f1(x1, x2), f2(x1, x2) безупинно диференційовані у сфері визначення, тобто. справедлива теорема існування та єдиності. Назва автономна система виправдана тим, що саме рішення керує своєю зміною, оскільки похідні dx1/dt і dx2/dt залежать тільки від x1 і x2. Автономні системи називають динамічними системами.
Нехай x1 = j 1 (t), x2 = j 2 (t) - Розв'язання автономної системи другого порядку. Тоді рівняння задають у параметричній формі криву на площині (x1, x2). Ця крива називається фазовою кривою або фазовою траєкторією системи. Площина, де розташовані фазові траєкторії називається фазової площиною автономної системи. Ось тому автономні системи другого порядку прийнято називати автономними системами на площині.
Для фазових траєкторій автономної системи з безперервно диференційованою правою частиною справедливі такі твердження:
- дві фазові криві або мають спільних точок, або збігаються;
- фазова траєкторія, відмінна від точки, є гладкою кривою (у кожній її точці є ненульовий дотичний вектор);
- всяка фазова крива належить до одного з трьох типів - гладка крива без самоперетинів, замкнута гладка крива (цикл), точка.
ПРИКЛАД 1. Види фазових кривих.
Якщо фазова траєкторія x1= j1(t), x2= j2(t) — замкнута гладка крива g, в деякій околиці якої немає інших замкнутих траєкторій, то вона є граничним циклом: всі траєкторії, що починаються досить близько від g, спіралеподібно наближаються доній або за , або за . Граничні цикли бувають трьох типів:
- стійкі - близькі траєкторії "навиваються" на нього при (приклад 2);
- нестійкі - близькі траєкторії йдуть від нього при (приклад 3);
- напівстійкі - траєкторії, що лежать по один бік від циклу, "навиваються" на нього при , а лежачі по інший бік - "відходять" від циклу (приклад 4).
ПРИКЛАД 2. Стійкий граничний цикл.
ПРИКЛАД 3. Нестійкий граничний цикл.
ПРИКЛАД 4. Напівстійкий граничний цикл.