01. Що таке алгебра?
Що таке алгебра? Історично алгебра склалася як наука про розв'язання рівнянь. Ще в стародавньому Вавилоні 4000 років тому люди вже вміли вирішувати квадратні рівняння. Це вміння виникло з практичної потреби вирішувати завдання землеробства, будівництва, військового мистецтва. Наприклад, однією з глиняних табличок, що належать на той час вчені історики розшифрували завдання:
Площа двох квадратів дорівнює 1000. Сторона одного квадрата становить дві третини сторони іншої, зменшені на 10. Які сторони квадратів?
Це завдання призводить до системи рівнянь:
Яка зводиться до квадратного рівняння:
Звідси x=30, а y=10.
Зрозуміло, система запису математичних співвідношень була іншою.
Сама назва “алгебра” перегукується з арабським ученим. У 825 році було написано підручник "Коротка книга про обчислення ал-Джабра". "Ал-Джабра" в перекладі означає перенесення або заповнення. Автор підручника – видатний вчений Мухаммед бен Муса аль-Хорезмі. (До речі, слово «алгоритм» походить від латинської форми імені аль-Хорезмі). Цей термін став назвою науки. За цією книгою довгий час навчалася вся Європа. Пройшли століття й у час алгебра оформилася як наука, предметом якої є операції, записані у символічній формі. Над чим здійснювались операції? Над математичними моделями. Такими моделями у сучасній алгебрі є групи, кільця, поля, векторні простори тощо.
Предметом нашого вивчення в курсі “лінійної алгебри” є матриці, лінійні простори, системи лінійних рівнянь та ін. -го порядку. Сам термін "лінійна" означає, що надоб'єктами вивчення вводяться, т. е. визначено три операції: додавання та множення у просторі об'єктів та множення об'єктів на скаляр. Для визначення лінії у просторі достатньо цих операцій. Від лінії походить термін “лінійна”.
Навіщо потрібен цей курс математики? Щодо майбутньої спеціальності інженер-механік ми наведемо лише один приклад. При створенні сучасних машин, приладів тощо доводиться проводити розрахунки на міцність конструкцій. Існує потужний сучасний метод – метод кінцевих елементів – що дозволяє вирішувати задачу розрахунку на міцність складних конструкцій.
Математично цей метод зводиться до розв'язання великої системи рівнянь із великою кількістю невідомих. При складанні та розв'язанні цих систем рівнянь інтенсивно використовується апарат лінійної алгебри як фундамент або основа для складніших математичних перетворень.
Одним з об'єктів, що вивчаються в курсі лінійної алгебри, є матриці. Тема першої лекції так і називається: