1. Визначення випадкового процесу. Класифікація випадкових процесів.
Випадковий процес описується статистичними характеристиками, які називаються моментами. Найважливішими характеристиками випадкового процесу є його стаціонарність, ергодичність та спектр потужності.
Випадковий процес у його математичному описі Х(t) є функцією, яка відрізняється тим, що її значення (дійсні або комплексні) у довільні моменти часу по координаті t є випадковими.
Класифікація випадкових процесів. Випадкові процеси розрізняють за рівнем однорідності їхнього перебігу у часі (за аргументом). Крім моментів першого і другого порядку, випадкові процеси мають моменти і більш високих порядків. Принаймні підвищення порядку моментів ймовірнісна структура випадкових процесів та його вибіркових реалізацій описується дедалі детальніше. Проте практична оцінка цих моментів за вибірками обмежена переважно лише стаціонарними випадковими процесами.
Стаціонарні процеси. Процес називають стаціонарним (точніше – слабко стаціонарним), якщо щільність ймовірностей процесу залежить від початку відліку часу і якщо інтервалі його існування виконуються умови сталості математичного очікування і дисперсії, а кореляційна функція є функцією лише різниці аргументів t = t2-t1, т .e.:
Останні вирази свідчать про парність кореляційної (а також і коваріаційної) функції та функції кореляційних коефіцієнтів. З нього випливає ще одна властивість змішаних моментів стаціонарних процесів:
Чим повільніше зі збільшенням значень t зменшуються функції Rx(t) і rx(t), тим більше інтервал кореляції випадкового процесу, і тим повільніше змінюються у його реалізації.
Якщо від часу не залежать і моменти вищих порядків (зокрема,асиметрія та ексцес), то такий процес вважається строго стаціонарним. У загальному випадку клас строго стаціонарних процесів входить до класу слабо стаціонарних. І лише у разі гаусових випадкових процесів слабка стаціонарність автоматично тягне за собою строгу, оскільки всі характеристики цих процесів визначаються середнім значенням і кореляційною функцією.
Стаціонарні випадкові процеси найчастіше зустрічаються під час вирішення фізичних і технічних завдань. Теорія стаціонарних випадкових функцій розроблена найповніше. Випадкові процеси, що задовольняють умовам стаціонарності на обмежених, які нас цікавлять інтервалах, також зазвичай розглядають у класі стаціонарних і називають квазистаціонарними.
Нестаціонарні процеси. У випадку значення функцій математичного очікування, дисперсії і кореляції може бути залежними від часу t, тобто. змінюватись у часі. Такі процеси становлять клас нестаціонарних процесів.
Ергодичні процеси. Строго коректно характеристики випадкових процесів оцінюються шляхом усереднення по ансамблю реалізацій у певні моменти часу (за перерізами процесів). Але більшість стаціонарних випадкових процесів має ергодичну властивість. Сутність його полягає в тому, що за однією досить довгою реалізації процесу можна судити про всі його статистичні властивості так само, як за будь-якою кількістю реалізацій. Іншими словами, закон розподілу випадкових величин у такому процесі може бути одним і тим самим як за перерізом для ансамблю реалізацій, так і за координатою розвитку. Такі процеси отримали назву ергодичних. Для ергодичних процесів має місце:
mX(t) = M = x(t) dt, (9.1.16)
DХ(t) = MХ(t)] 2 > =(x(t) - mХ(t)) 2 dt, (9.1.17)
RX(t) = M = x (t) x (t + t)dt. (9.1.18)
Ергодичність є дуже важливою властивістю випадкових стаціонарних і лише стаціонарних процесів. Математичне очікування ергодичного випадкового процесу дорівнює постійної складової будь-якої реалізації, а дисперсія є потужністю його флюктуаційної складової. Так як визначення функцій проводиться за обмеженими статистичними даними однієї реалізації і є лише певним наближенням до відповідних фактичних функцій процесів, доцільно називати ці функції статистичними.