15. Паде-апроксимація аналітичних функцій
Паде-апроксимація аналітичних функцій
Для апроксимації аналітичних функцій однією з кращих є Паде-апроксимація, при якій задана функція наближається ставленням двох поліномів. Для здійснення такої апроксимації використовується функція pade:
Тут f - аналітичний вираз або функція, х - змінна, щодо якої записується апроксимуюча функція, а - координата точки, щодо якої виконується апроксимація, m, n - максимальні ступені поліномів чисельника та знаменника. Техніку апроксимації Паде пояснює рис. 14.4.
На рис. 14.4 представлена апроксимація синусоїдальної функції, а також побудовані графіки цієї функції та апроксимуючої функції. Під ними дано також графік абсолютної похибки цього виду апроксимації. Неважко помітити, що у інтервалі [-л, я] похибка різко зростає кінцях інтервалу апроксимації.
Важливою перевагою паде-апроксимації є можливість досить точного наближення розривних функцій. Це з тим, що нулі знаменника у апроксимуючого висловлювання здатні наближати розриви функцій, якщо заданому інтервалі апроксимації число розривів звичайно. На рис. 14.5 представлений приклад Паде-апроксимації функції tan(x) в інтервалі від -4,5 до 4,5, що включає два розриви функції.
Як видно із рис. 14.5, розбіжність між функцією тангенсу та її апроксимуючою функцією ледве помітно лише на краях інтервалу апроксимації. Обидва розриви чудово наближаються апроксимуючою функцією. Такий характер апроксимації підтверджується і графіком похибки, яка лише на кінцях інтервалу апроксимації [-4,0, 4,0] досягає значень 0,01 (близько 1%).
Мал. 14.4.Апроксимація Паде для синусоїдальної функції
Мал. 14.5. Апроксимація Паде для розривної функції тангенсу