1.5 Схема Кранка-Ніколсона

Явна, звичайно, різницева схема, записана у формі

(21)

має ту перевагу, що рішення на верхньому часовому шаріtk+lнапів-

чается відразу (без рішення СЛАУ) за значеннями сіткової функції на нижньому часовому шаріtk, де рішення відоме (приk= 0Значення сіткової функції формуються з початкової умови). Але ця ж схема має істотний недолік, оскільки вона є умовно стійкою.

З іншого боку, неявна кінцево-різницева схема, записана формою

(22)

призводить до необхідності вирішувати СЛАУ, але ця схема абсолютно стійка.

Проаналізуємо схеми (21) та (22). Нехай точне рішення, яке невідомо, зростає в часі, тобто.

. Тоді, відповідно до явної схеми (21), різницеве рішення буде заниженим порівняно з точним, так як

визначається за меншими значеннями сіткової функції на попередньому часовому шарі, оскільки рішення є зростаючим за часом.

Для неявної схеми (22) на зростаючому рішенні, навпаки, рішення завищено порівняно з точним, оскільки воно визначається значеннями сіткової функції на верхньому часовому шарі.

На спадному рішенні картина змінюється протилежним чином: явна кінцево-різницева схема завищує рішення, а неявна - занижує (Малюнок 4).

На основі цього аналізу виникла ідея про побудову більш точної неявно-явної кінцево-різницевої схеми з вагами при просторових кінцево-різницевих операторах, причому при подрібненні кроків тик точне (невідоме) рішення може бути взято у «вилку» як завгодно вузьку, так як якщо явна та неявна схеми апроксимують диференціальну задачу і ці схеми стійкі, то при прагненні сіткових характеристикτіhдо нулярішення за явною та неявною схемами прагнуть точного рішення з різних сторін.

Рисунок 4 – Двосторонній метод апроксимації

Проведений аналіз дав блискучий приклад так званих двосторонніх методів, досліджених В. К. Саульєвим

Розглянемо неявно-явну схему з вагами для найпростішого рівняння теплопровідності:

(23)

деθ- вага неявної частини кінцево-різницевої схеми,

θ-1 – вага для явної частини

Причому

. Приθ=1маємо повністю неявну схему, приθ=0– повністю явну схему, а приθ=1/2– схемуКранка- Ніколсона.

Відповідно до гармонійного аналізу для схеми (23) отримуємо нерівність

(24)

причому праву нерівність виконано завжди.

Ліва нерівність має місце для будь-яких значеньσ, якщо. Якщо ж вагаθлежить у межах, то міжσіθз лівої нерівності встановлюється зв'язок

(25)

що є умовою стійкості неявно-явної схеми з вагами (23), коли вага знаходиться в межах .

Таким чином, неявно-явна схема з вагами абсолютно стійка при умовно стійка з умовою (25) при.

Розглянемо порядок апроксимації неявно-явної схеми з вагами, для чого розкладемо в ряд Тейлора в околиці вузла(xj,tk)на точному рішенні значення сіткових функцій

за змінноюt,

за змінноюхі отримані розкладання підставимо в (23):

У цьому виразі диференціальний оператор

від квадратної дужки відповідно до диференціального рівняння дорівнює диференційному оператору

, відповідно до чого вищенаведена рівність набуває вигляду

Після спрощення отримуємо

звідки видно, що з схеми Кранка-Николсона (θ= 1/2) порядок апроксимації схеми (23) становить

, тобто. однією порядок за часом вище, ніж звичайних явних чи неявних схем. Таким чином, схема Кранка-Ніколсона приθ= 1/2 абсолютно стійка і має другий порядок апроксимації за часом і просторовою змінноюх.

Використовуємо для рівняння (23) підстановкуr=a2k/h2. Але в той же час його потрібно вирішити для трьох "ще не обчислених" значень

, і

. Це можливо, якщо всі значення перенести до лівої частини рівняння. Потім упорядкуємо члени рівняння (23) і в результаті отримаємо неявну різницеву формулу

(26)

дляi=2,3,…,n-1. Члени у правій частині формули (26) відомі. Таким чином, формула (26) має вигляд лінійної тридіагональної системи АХ=В. Шість точок, що використовуються у формулі Кранка-Ніколсона (26), разом з проміжною точкою решітки, на якій засновані чисельні наближення, показано на малюнку 5.

Малюнок 5 – Шаблон (схема) методу Кранка-Ніколсона

Іноді у формулі (26) використовується значенняr=1. У цьому випадку збільшення по осіtрівно, формула (26) спрощується і набуває вигляду

, (27)

дляi=2,3,…,n-1. Граничні умови використовуються в першому і останньому рівняннях (тобто в

відповідно).

Рівняння (27) є особливо привабливими при записі у формі тридіагональної матриці АХ = В.

Якщо метод Кранка-Ніколсона реалізується на комп'ютері, то лінійну систему АХ = можна вирішити або прямим методом, або ітераційним.