1.Об’єм циліндричного тіла. Подвійний інтеграл.
Застосування подвійних інтегралів до завдань механіки та геометрії.
кафедри вищої математики
1.Об'єм циліндричного тіла. Подвійний інтеграл.
2. Обчислення подвійних інтегралів.
3.Додатки подвійних інтегралів до завдань механіки.
а) маса плоскої платівки змінної щільності.
б) статичні моменти та центр ваги платівки.
в) моменти інерції платівки.
4.Обчислення площ та обсягів за допомогою подвійних інтегралів.
б) Обчислення площі плоскої області.
5.Обчислення площі поверхні.
1.Об'єм циліндричного тіла. Подвійний інтеграл.
Циліндричним тілом називається тіло, обмежене площиною Oxy, поверхнею, з якою будь-яка пряма, паралельна осі Oz, перетинається лише в одній точці, і циліндричною поверхнею, що утворює якої паралельна осі Oz.
Область D, що висікається в площині Oxy циліндричною поверхнею, називається основою циліндричного тіла (див. рис.1). У окремих випадках бічна циліндрична поверхня може бути відсутній; прикладом тому служить тіло, обмежене площиною Oxy та верхньою півсферою.
Зазвичай тіло можна скласти з деякого числа циліндричних тіл і визначити об'єкт, що шукається, як суму обсягів циліндричних тіл, що становлять це тіло.
Насамперед нагадаємо два принципи, у тому числі ми виходимо щодо обсягу тіла:
якщо розбити тіло на частини, то його обсяг дорівнюватиме сумі обсягів усіх частин;
обсяг прямого циліндра, тобто. циліндричного тіла, обмеженого площиною, паралельної площині Oxy, дорівнює площі основи, помноженої на висоту тіла.
Нехай є рівняння поверхні, що обмежує циліндричне тіло. Вважатимемо функцію безперервною в областіD і передусім припустимо, що поверхня повністю лежить над площиною Oxy, тобто. що всюди області D.
Позначимо об'єм циліндричного тіла черезV,Розіб'ємо основу циліндричного тіла - область D - на деяке число n областей довільної форми; називатимемо їх частковими областями. Пронумерувавши часткові області в якомусь порядку, позначимо їх через їх площі - через. Через кордон кожної часткової області проведемо циліндричну поверхню з твірною, паралельною осі Oz. Ці циліндричні поверхні розріжуть поверхню n шматків, відповідних n частковим областям. Таким чином, циліндричне тіло виявиться розбитим на n часткових тіл циліндричних (див.рис.2). Виберемо в кожній частковій області довільну точку і замінимо відповідне часткове циліндричне тіло прямим циліндром з тією ж основою і висотою, що дорівнює. В результаті отримаємо n-ступінчасте тіло, обсяг якого дорівнює
Приймаючи об'ємVданого циліндричного тіла приблизно рівним об'єму побудованого n-ступінчастого тіла, вважатимемо, що Vn тим точніше виражаєV,чим більше n і чим менша кожна з часткових областей. Переходячи до межі, ми будемо вимагати, щоб не тільки площа кожної часткової області прагнула до нуля, але щоб прагнули до нуля всі її розміри. Якщо назватидіаметром областінайбільшу відстань між точками її кордону (Наприклад, діаметр прямокутника дорівнює його діагоналі, діаметр еліпса-його великої осі. Для кола наведене визначення діаметра рівносильне звичайному.), то висловлена вимога означатиме, що кожен з діаметрів часткових областей має прагнути нуля; при цьому самі області будуть стягуватися в точку (Якщо відомо тільки, що площа області прагненулю, то ця область може і не стягуватись у точку. Наприклад, площа прямокутника з постійною основою і висотою, що прагне до нуля, прагне нуля, а прямокутник стягується до своєї основи, тобто до відрізка).
Відповідно до сказаного ми приймаємо шуканий обсягVрівним межі, якого прагне Vn при прагненні до нуля найбільшого діаметра часткових областей (при цьому):
До пошуку межі подібних сум для функцій двох змінних призводять найрізноманітніші завдання, а чи не лише завдання обсягу.
Розглянемо це питання у загальному вигляді. Нехай - будь-яка функція двох змінних (не обов'язково позитивна), безперервна в деякій області D,обмеженою замкненою лінією. Розіб'ємо область D на часткові, як зазначено вище, виберемо в кожній частковій області за довільною точкою і складемо суму
(*)
де - значення функції у точці; і - площа часткової області.
Сума (*) називається n-ї інтегральної сумоюдля функції в області D,відповідної даному розбиття цієї області на n часткових областей.
Визначення.Подвійним інтегралом від функції області D називається межа, якого прагне n-я інтегральна сума (*) при прагненні до нуля найбільшого діаметра часткових областей.
Записується це так:
Читається: "подвійний інтеграл від напо області D". Вираз, що показує вигляд доданих доданків, називається підінтегральним виразом; функціяназивається підінтегральною функцією,- елементом площі, область D - областю інтегрування, нарешті, змінні x і у називаються змінними інтегрування.
Таким чином, можна сказати, що об'єм циліндричного тіла, обмеженого площиною Oxy,поверхнею та циліндричноюповерхнею з твірною, паралельною осі Oz,виражається подвійним інтегралом від функції,взятим по області, що є основою циліндричного тіла:
.
Аналогічно теоремі існування звичайного інтеграла має місце така теорема.
Теорема існування подвійного інтегралу.
Якщо функція безперервна в області D, обмеженою замкненою лінією, то її n-я інтегральна сума прагне до межі при прагненні до нуля найбільшого діаметра часткових областей. Ця межа, тобто. подвійний інтеграл, не залежить від способу розбиття області D на часткові області і від вибору в них точок Pi.
Подвійний інтеграл, зрозуміло, є числом, що залежить тільки від підінтегральної функції та області інтегрування і зовсім не залежить від позначень змінних інтегрування, так що, наприклад,
.
Далі ми переконаємося у тому, що обчислення подвійного інтеграла то, можливо вироблено у вигляді двох звичайних інтегрувань.