§2. Безперервні функції на замкнених множинах

Нагадаємо відомі з курсу математичного аналізу властивості безперервних функцій, заданих на замкнутій обмеженій множиніFсRn.

Теорема 1 (1-а теорема Вайєрштрасса)

Функціяf, безперервна на замкнутому обмеженому

множиніFзRn, обмежена на ньому.

Теорема 2 (2-а теорема Вайєрштрасса)

Функціяf, безперервна на замкнутому обмеженому

множиніFзRn, досягає на ньому свого найбільшого та найменшого значень.

Функціяf, безперервна на замкнутій обмеженій множині, рівномірно безперервна на ньому.

Докази можна знайти у літературі з математичного аналізу. Встановимо нові результати.

Функціяf, безперервна на замкнутій множиніFзRnтоді і тільки тоді, коли "aеRмножиниf(x) a замкнуті (xеF).

(xmLn CExm® x 0.F3аMKH У T0, тоді x 0 еF.

Для іншого безлічі аналогічно.

§3. Точки розриву

Є різні класифікації точок розриву. Теоретично функцій найбільш прийнята така:

1. Якщо існують обидві односторонні межіf(x0 + 0),f(x0-0), навіть і нескінченні, то це розрив 1-го роду .

2. Якщо немає хоча б однієї з односторонніх меж, це точка розриву 2-го роду.

'0;x0 має в точціx0= 0 розрив 2-го роду,

Розглянемо деякі факти, пов'язані з точками розриву.Теорема 1

Нехай функціяfзадана на замкнутій множиніFзRn. БезлічAe=: w(x,f)>e>замкнуто "e" 0.

Нехай x - гранична точка множини Ae .

Цікавим є наступний результат.

Безліч точок розриву функції, заданої на замкнутій множиніFзRn, є об'єднання не більш ніж лічильного числа замкнутих множин.Доказ

Безліч точок розриву функціїfпозначимо черезA.

Покажемо, щоA= u Aj. Доводимо як рівність

ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ ДІЙСНОЇ ЗМІННОЇ 2

ТЕОРІЯ ФУНКЦІЙ ДІЙСНОЇ ЗМІННОЇ 3

КОНСПЕКТ ЛЕКЦІЇ 3

(А \ Д) п (А \ Аг) = 0 (д \ Аг) п (а \ Аз) = 0 23

2o Якщо A = U A, 1Ф j ^ A П Af = 0, A = c, то A = c 37

Візьмемо набір точок 0 = x0 х х 0

Покажемо, що limf(х) =m.

Аналогічно показуємо, що f(x0+ 0) =m. У цьому випадку існують, вони кінцеві. Якщох0- точка розриву, то 1-го роду з кінцевим стрибком.

Якщо ж ліворуч відx0у будь-якій її околиці є лише кінцеве безліч точок зX, а справа нескінченне або навпаки, тобто в досить малій околиці є точка зXтільки з одного боку, то x - точка розриву, що усувається.

Таким чином, точка розриву монотонної функції, якщо вони є, тільки 1-го роду та з кінцевим стрибком:f(х + 0) -f(x0 - 0).

Встановимо потужність безлічі точок розриву монотонної функції. З урахуванням наших подальших потреб обмежимося нагодоюX= [a; b].

Безліч точок розриву монотонної функції, заданої[a; b], не більше, ніж рахунково.

Нехай, наприклад, зростає. Відомо, що безліч

або порожнє: воно має елементів не більше, ніж (f(b)-f(a)):

-. ТодіAяк об'єднання лічильного числа не більше ніжm

кінцевих множин не більше ніж лічильна.Теорема доведена.

Цей результат можна узагальнити на випадок більш загальної множиниX.А саме, вірні:

Якщо функціяfмонотонна і обмежена на множиніX зR,то"e0 безлічAeне більше, ніж звичайно.

Безліч точок розриву функції, монотонної та обмеженої на множиніX зR,не більш ніж лічильно.

Безліч точок розриву функції, монотонної на множиніX зR,не більш ніж лічильно. Докази див. [4].

---