§ 2. Гамільтоніан основного стану водню

За хвилину ви це дізнаєтесь. Але перш за все хочу вам нагадати одну річ:будь-якийстан завжди можна представити у вигляді лінійної комбінації базисних станів. Для будь-якого стану > можна написати

Нагадаємо, що повні дужки - це просто комплексні числа, так що їх можна позначити звичайним чином черезСi, деi=l, 2, 3 або 4 , і записати (10.2) у вигляді

Завдання четвірки амплітудСiповністю описує спиновий стан >. Якщо ця четвірка змінюється в часі (як це і буде насправді), то швидкість зміни в часі дається операторомН^.Завдання полягає в тому, щоб знайти цей оператор H^.

Немає загального правила, як писати гамільтоніан атомної системи, і відшукання правильної формули вимагає більшого мистецтва, ніж відшукання системи базисних станів. Ми вам змогли дати загальне правило, як записувати систему базисних станів для будь-якого завдання, в якому є протон та електрон, але описати загальний гамільтоніан такої комбінації на цьому рівні надто важко. Натомість ми підведемо вас до гамільтоніану деякими евристичними міркуваннями, і вам доведеться визнати його правильним, тому що результати будуть узгоджуватися з експериментальними спостереженнями.

Згадайте, що в попередньому розділі ми змогли описати гамільтоніан окремої частинки зі спином 1/2, застосувавши сигма-матриці або еквівалентні їм сигма-оператори. Властивості операторів зведені у табл. 10.1. Ці оператори, що є просто зручним, коротким способом запам'ятовування матричних елементів типу були корисні для опису поведінки окремої частинки зі спином 1 /2. Виникає питання, чи можна знайти аналогічний засіб для опису системи з двома спинами. Так, і дуже просто. Ось дивіться. Мивинайдемо річ, яку назвемо «електрон-сигма» і яку представлятимемо векторним оператором  e з трьома компонентами  e x,  e y та  e z. Даліумовимося,що коли одна з них діє

Таблиця 10.1•ВЛАСТИВОСТІ СИГМА-ОПЕРАТОРІВ

на якийсь із наших чотирьох базисних станів атома водню, то вона діє на один тільки спин електрона, причому гак, ніби електрон був один, сам по собі. Приклад: чому yе-+>? Оскільки y , що діє на електрон зі спином вниз, дає -i, помножений на стан з електроном, у якого спин вгору, то

(Коли y діє на комбіноване стан, воно перевертає електрон, не торкаючись протон, і множить результат на -i.) Діючи інші стани, еудасть

Нагадаємо ще раз, що оператор  е діє лише напершийспиновий символ, тобто на спинелектрона.

Тепер визначимо відповідний оператор протон-сигма для спина протона. Три його компоненти  p x, p y,  p z, діють так само, як і  е , але тільки напротонний спин.Наприклад, якщо  p x діятиме на кожне з чотирьох базисних станів, то вийде (знову за допомогою табл. 10.1)

Як бачите, нічого складного. У загальному випадку можуть зустрітися речі та складніше. Наприклад, добуток операторів  e y p z.Коли є такий твір, то спочатку робиться те, що хоче правий оператор, а потім чоговимагає лівий. Наприклад,

Зверніть увагу, що ці оператори з числами нічого не роблять; ми використовували це, коли писали  e x(-1)=(-1)  e x . Ми говоримо, що оператори «комутують» з числами або що «можна протягнути» через оператор. Попрактикуйтеся та покажіть, щодобуток ех p z дає для чотирьох станів наступний результат:

Якщо перебрати всі допустимі оператори, кожен раз, то всього може бути 16 можливостей. Так,шістнадцять,якщо включити ще одиничний оператор 1. По-перше, є трійка ех, еy, еz, потім трійка  p x,  p y,  p z, всього шість. З іншого боку, є дев'ять творів виду ех p y, всього 15. І ще одиничний оператор, що залишає всі стани недоторканими. Ось і всі шістнадцять!

Зауважте тепер, що з системи з чотирма станами матриця Гамільтона повинна бути матрицю коефіцієнтів 4x4, у ній буде 16 чисел. Легко показати, що будь-яка матриця 4X4, і зокрема матриця Гамільтона, може бути записана у вигляді лінійної комбінації шістнадцяти подвійних матриць спини, відповідних системі операторів, які ми тільки що склали. Тому для взаємодії між протоном та електроном, до якого входять тільки їхні спини, ми можемо очікувати, що оператор Гамільтона може бути записаний у вигляді лінійної комбінації тих самих 16 операторів. Питання лише у тому, як.

Але, по-перше, ми знаємо, що взаємодія залежить від нашого вибору осей для системи координат. Якщо немає зовнішнього обурення - чогось на кшталт магнітного поля, що виділяє якийсь напрям у просторі, - то гамільтоніан не може залежати від нашого вибору напрямків осейх, уіz.Це означає, що в гамільтоніані не може бути таких членів, як e x сам по собі. Це виглядало б безглуздо, тому що хтось в іншій системі координат прийшов би до інших результатів.

Єдино можливі лише член із одиничною матрицею, скажімо постійнаа(помножена на 1^), і деякакомбінація сигм, яка залежить від координат, деяка «інваріантна» комбінація. Єдинаскалярнаінваріантна комбінація з двох векторів - це їх скалярний твір, що має для наших сигм вигляд

Цей оператор інваріантний по відношенню до будь-якого повороту системи координат. Отже, єдина можливість для гамільтоніана з підходящою симетрією в просторі - це постійна, помножена на одиничну матрицю плюс постійна, помножена на це скалярне твір, тобто.

Це і є наш гамільтоніан. Це єдине, чому, виходячи з симетрії в просторі, він може дорівнювати, поки немає зовнішнього поля. Постійний член нам багато чого не повідомить; він просто залежить від рівня, який ми вибрали для відліку енергії. З рівним успіхом можна було прийнятиЕ0=0. А другий член розповість нам про все, що потрібно для того, щоб знайти розщеплення рівнів водню.

Якщо завгодно, можна розмірковувати про гамільтоніан інакше. Якщо поблизу один від одного знаходяться два магніти з магнітними моментами е і р, то їх взаємна енергія залежить, крім іншого, і віде•р. А ми, як ви пам'ятаєте, з'ясували, що та річ, яку ми у класичній фізиці називалие, у квантовій механіці виступає під ім'ям ee. Подібним чином, те, що в класичній фізиці виглядає як p, у квантовій механіці зазвичай виявляється рівним рр (де р— магнітний момент протона, який майже в 1000 разів менший е і має зворотний знак). Отже, (10.5) стверджує, що енергія взаємодії подібна до взаємодії двох магнітів, але не до кінця, тому що взаємодія двох магнітів залежить від відстані між ними. Але (10.5) може вважатися (і насправді є ) свого роду середньою взаємодією. Електронякось рухається всередині атома, і наш гамільтоніан дає лише середню енергію взаємодії. Загалом усе це свідчить, що з запропонованого розташування електрона і протона у просторі існує енергія, пропорційна косинусу кута між двома магнітними моментами (висловлюючись класично). Така класична якісна картина може допомогти вам зрозуміти, звідки все виходить, але єдине, що важливо при цьому те, що (10.5) - це правильна квантовомеханічна формула.

Порядок величини класичного взаємодії між двома магнітами мав би даватися добутком двох магнітних моментів, поділеним на куб відстані між ними. Відстань між електроном і протоном в атомі водню, грубо кажучи, дорівнює половині атомного радіусу, тобто 0,5 А. Тому можна приблизно прикинути, що постійнаАповинна дорівнювати добутку магнітних моментів е і  p, поділеному на куб половини ангстрему. Така пристрілка призводить до числа, що потрапляє якраз у потрібний район. Але виявляється, щоАможна підрахувати і акуратніше, варто лише розібратися в повній теорії атома водню, що нам поки що не під силу. НасправдіАбуло підраховано з точністю до 30 мільйонів. Як бачите, на відміну від постійної перекиданняАмолекули аміаку, яку за теорією неможливо добре підрахувати, наша постійнаАдля воднюможе бутирозрахована з більш детальної теорії. Але нічого не вдієш, нам для наших теперішніх цілей доведеться вважатиАчислом, яке може бути визначене з досвіду, та аналізувати фізику справи.

Взявши гамільтоніан (10.5), можна підставити його на рівняння

та подивитися, що робить спинову взаємодію з рівнями енергії. Для цього треба підрахувати шістнадцять матричних елементівHij=, що відповідають будь-якій двійці з чотирьох базисних станів (10.1).

Почнемо з того, що підрахуємо, що дорівнюєН^j> для кожного із чотирьох базисних станів. Наприклад,

Користуючись способом, описаним трохи раніше (згадайте табл. 10.1, вона дуже полегшить справу), ми знайдемо, що кожна пара робить з + +>• Відповідь така: