§2. Група. Аксіоми групи.
Усі алгебри можна класифікувати з погляду властивостей операцій, заданих на множинах-носіях. Ця класифікація дозволяє виділити з багатьох алгебр алгебри певного роду, які будуть однакові, з точністю до ізоморфізму.
Перш ніж давати визначення різних пологів алгебр, домовимося про термінологію. Якщо задана бінарна операція алгебри на множині А, то в залежності від того, яка задана операція і як вона позначена, будемо говорити і писати:
У загальній термінології
В адитивній термінології
У мультиплікативній термінології
Твір a • b
Нейтральний елемент е
Симетричний елемент a'
Протилежний елемент -a
Зворотний елемент a -1
Визначення 1.Алгебра з однією бінарною операцією називаєтьсягруппоїдом.
Наприклад, , , - групоїди, a , , . - Не є групоїдами.
Визначення 2.Напівгрупоюназивається алгебра з бінарною асоціативною операцією:
a, b, c А, (а*b)*с = а*(b*с). Можна сміливо сказати, що напівгрупа - це асоціативний групоїд.
Наприклад, N, •>. Z,+>, Q,+> - напівгрупи, оскільки операції складання та множення на множинах N, Z, Q - асоціативні. Алгебри не є напівгрупами.
Визначення 3.Моноїдомназивається алгебра, бінарна операція якої задовольняє умовам:
1) a, b, c А, (а * b) * с = а * (b * с) - операція асоціативна,
2) е А a A, е*а = а*е = а – існує нейтральний елемент.
Можна сміливо сказати, що моноид - це напівгрупа з нейтральним елементом.
Наприклад, - є моноїдом, так як е = 1, 1 Z, a не є моноїдом, так як е = 0, 0N.
Визначення 4.Групоюназивається алгебра, бінарна операція якої задовольняє умовам, званим такожаксіомами групи:
Аl. a, b, c G, (a * b) * c = a * (b * c) (асоціативність);
А2. е G aG, e*a = a*e = а (існування нейтрального елемента);
A3. a Î G, a' G a*a' = a'*a = e (симетризованість кожного елемента).
З визначення видно, кожна група є напівгрупою і моноидом. Можна сміливо сказати, що група - це моноід, кожен елемент якого має симетричний елемент.
У деяких випадках зручно використовувати наступне визначення групи:
Визначення 4*.Алгебра з бінарною операцією * називаєтьсягрупою, якщо виконуються такі умови:
а) a, b, c G, (a*b)*c = a*(b*c).
б) a, b G, кожне з рівнянь а * х = b і у * а = b має хоча б одне рішення.
Перше визначення групи зручніше для перевірки того факту, чи буде дана алгебра групою. Друге визначення характеризує групу як алгебру, в якій можна розв'язати рівняння першого ступеня. Можна довести, що визначення 4 та 4* рівносильні. У визначенні групи закладено алгоритм розв'язання всіх завдань, пов'язаних із з'ясуванням питання - чи дана алгебра буде групою.
Визначення 5.Група називається комутативною (або абелевою), якщо операція * Комутативна, тобто. виконується аксіома:
А4. a, b G, a * b = b * a (комутативність).
Вказівка.Для доказу того, що безліч А з операцією * є групою, потрібно.
по-перше, показати, що операція є бінарною операцією на безлічі А, тобто. здійсненною та однозначною операцією рангу 2 на А,
по-друге,перевірити здійсненність аксіом A1, A2, A3 групи для алгебри.
Якщо перша з цих умов не виконується, тонемає сенсу у перевірці аксіом.
Приклад 1.Розглянемо безліч Z цілих чисел щодо операції складання. Покажемо, що – абелева група.
а) Операція + є здійсненною на Z, тому що "a, bÎZ, (a+b)Z; однозначною на Z, оскільки результат (а + b) визначається однозначно. Ранг операції "+" дорівнює двом, тому що в Визначення операції використовується пара елементів (а, b) (а + b).Отже, - групоїд.
б) Операція "+" асоціативна на Z, тому що "a, b, cÎ Z,
(а+b)+с = а+(b+с). Отже, – напівгрупа.
в) Роль нейтрального елемента гратиме число 0, оскільки
a Î Z, а + 0 = 0 + а = а. Отже, - моноід.
г) Для будь-якого цілого числа існує протилежне число: aZ, (-а) а + (-а) = (-а) - а = 0.
д) Операція + коммутативна на Z, оскільки "a, b Z, a + b = b + a.
Таким чином – комутативна група. Її зазвичай називають адитивноюгрупою цілих чисел.
Приклад 2.Розглянемо безліч Z щодо операції множення цілих чисел. З'ясуємо, алгеброю якого роду є пара:
а) Множення є бінарною операцією на Z, здійсненною та однозначною. Отже, – групоїд.
б) Операція множення Z асоціативна, тобто. a, b, cÎZ,
a(bc) = (ab)c. Отже, – напівгрупа.
в) Число 1 є нейтральним елементом щодо операції множення, оскільки " a Î Z, 1 • а = а 1 = а. Значить,
г) Тепер залишилося перевірити аксіому існування симетричного елемента Z щодо операції множення. Вочевидь, що це цілі числа, крім 1 і -1, немає зворотних елементів на Z, тобто аксіома A3 не виконується.
Отже, – групою не є. Можна також показати, що рівняння ах = b, уа = b можна розв'язативсім цілих чисел.
Приклад 3.З'ясуємо, чи буде групою безліч Q 0 раціональних чисел без нуля щодо бінарної операції множення раціональних чисел.
а) Очевидно, що множення раціональних чисел є бінарною операцією на Q, здійсненною та однозначною. Отже, 0 , • & gt; -группоїд.
б) Операція множення – асоціативна. Отже,
в) Нейтральний елемент дорівнює 1. Отже, 0 • gt; - Моноід.
г) Крім того, a Q 0 , а -1 Q 0 а • а -1 = а -1 • а = 1.
Отже, 0 . •> - Група. Її зазвичай називають мультиплікативною групою раціональних чисел. Очевидно, що група
Визначення 6.Групу називають безкінцевою,якщо G -нескінченна безліч.
Приклад 4.Нехай - безліч цілочисельних ступенів деякого цілого числа а. Тоді до >, •> - Безкінечна мультиплікативна група.
Визначення 7.Групу називаютькінцевою,якщо G -кінцева множина. Число елементів множини G називаютьпорядкомгрупи і позначають G (або 0r, або (G: 1)).
Приклад 5.Розглянемо приклад кінцевої групи. Нехай дано безліч Z та натуральне число m. Ділитимемо всі цілі числа на m. Числа, які при розподілі на m матимуть однакові залишки, зберемо до одного класу. Так як різних залишків буде m (0, 1, 2, ., m-1), то і різних класів теж буде m.
Позначимо цю множину класів символом Zm і поставимо на цій множині операцію додавання класів за правилом: =
Тоді – буде кінцевою групою. Доведіть це самостійно!
Приклад 6.Довести, що 0 , •, де р - просте число і = буде теж групою.