2. ПЕРСПЕКТИВНА КОЛІНЕАЦІЯ
Нехай площина П проектується із центру S на площину П′ (рис. 7). Тоді кожній точці, наприклад, у площині П відповідає точка З ′ на площині П ′ .
Також і кожній точці З площини П відповідає точка площини П. Таким чином, операція проектування встановлює взаємно однозначне
Розділ 5. Відповідність плоских полів при центральному та паралельному проектуванні
відповідність між точками двох площин. Кожній фігурі одного поля (сукупності точок) відповідає деяка фігура іншого поля, наприклад, пряма проектується на пряму.
Така взаємно однозначна відповідність плоских полів називається колінеарною або колінеацією (перспективною). Пряма m перетину П і П є особливою прямою, яку називають віссю колінеації. Кожна точка її є подвійною точкою (сама точка та її проекція збігаються). Лінія m – вісь колінеації.
Візьмемо ще одну довільну точку – точку А . Щоб побудувати її проекцію А , продовжимо СА до перетину з m в точці 1, з'єднаємо її з точкою З , а точку А - з точкою S . У перетині відзначимо точку А ′. Візьмемо ще одну довільну точку, проробимо ту ж процедуру, визначивши точку. На прямій m виявилися ще дві точки: точка 2 та точка 3.
Проаналізуємо побудову. Вершини трикутників лежать на проектованих променях, проведених із центру S . Відповідні сторони трикутників лежать у проектованих площинах (утворених променями, що виходять із центру S), які перетинають вісь у точках 1, 2, 3.
АС ∩ А ′ С′ = 1; BC ∩ B ′ C ′ = 2; AB ∩ A ′ B ′ = 3.
Якщо взяти промінь паралельно П, то проекції N ′ не можна знайти точку N . Нема взаємно однозначної відповідності. Виходить, що і тут для усунення порушеної закономірності треба доповнитигеометричні елементи нескінченно віддаленими точками. Ми приходимо до теореми проективної геометрії - так званої теореми Дезарга (1639) (Жерар Дезарг, 1591-1661, сучасник Рене Декарта).
Теорема Дезаргу
Якщо у двох трикутників прямі, що з'єднують вершини, перетинаються в одній точці ( S ), то точки перетину відповідних сторін належать до однієї прямої m .
Теорема вимагає доказів – це об'єктивна даність, що показано у роботі професора К.І. Валькова [2]. Однак у іншій, раніше виданій навчальній літературі, теорема Дезарга доводиться.