§ 22. Гармонічні коливання
Знаючи, як пов'язані між собою прискорення і координата тіла, що коливається, можна на основі математичного аналізу знайти залежність координати від часу.
Прискорення - друга похідна координати за часом. Миттєва швидкість точки, як вам відомо з курсу математики, є похідною координати точки за часом. Прискорення точки - це похідна її швидкості за часом або друга похідна координати за часом. Тому рівняння (3.4) можна записати так:
де х" - друга похідна координати за часом. Відповідно до рівняння (3.11) при вільних коливаннях координата х змінюється з часом так, що друга похідна координати за часом прямо пропорційна самій координаті і протилежна їй за знаком.
Гармонічні коливання. З курсу математики відомо, що похідні синуса і косинуса за їх аргументом пропорційні самим функцій, взятим з протилежним знаком. У математичному аналізі доводиться, що жодні інші функції такою властивістю не мають. Все це дозволяє з повною підставою стверджувати, що координата тіла, що здійснює вільні коливання, змінюється з часом за законом синуса або косинуса. На малюнку 3.6 показано зміну координати точки з часом за законом косинуса.
Періодичні зміни фізичної величини в залежності від часу, що відбуваються за законом синуса або косинуса, називаються гармонічними коливаннями.
Спочатку ми розглядатимемо гармонійні зміни координати. Надалі ознайомимося з гармонійними змінами інших величин.
Амплітуда коливань.Амплітудою гармонійних коливань називається модуль найбільшого усунення тіла від положення рівноваги.
Амплітуда можемати різні значення в залежності від того, наскільки ми зміщуємо тіло від положення рівноваги в початковий момент часу або від того, яка швидкість повідомляється тілу. Амплітуда визначається початковими умовами, а точніше енергією, що повідомляється тілу. Але максимальні значення модуля синуса та модуля косинуса дорівнюють одиниці. Тому рішення рівняння (3.11) не може виражатися просто синусом чи косинусом. Воно повинно мати вигляд твору амплітуди коливань ХТ на синус чи косинус.
Розв'язання рівняння, що описує вільні коливання. Запишемо рішення рівняння (3.11) у такому вигляді:
У цьому випадку перша похідна набуває вигляду
а друга похідна дорівнюватиме:
Ми здобули рівняння (3.11). Отже, функція (3.12) є рішенням вихідного рівняння (3.11). Вирішенням цього рівняння буде також функція
Позначимо постійну величину, що залежить від властивостей системи, через ω0:
Саме ж рівняння (3.11) набуває вигляду
Графік залежності координати тіла від часу згідно (3.14) є косинусоїдою (див. рис. 3.6).
Період і частота гармонійних коливань. При коливаннях руху тіла періодично повторюються. Проміжок часу Т, протягом якого система здійснює один повний цикл коливань, називаєтьсяперіодом коливань.
Знаючи період, можна визначити частоту коливань , тобто число коливань в одиницю часу, наприклад за секунду. Якщо одне коливання відбувається за час Т, то кількість коливань за секунду
У Міжнародній системі одиниць (СІ)частота коливань дорівнює одиниці, якщо за секунду відбувається одне коливання. Одиниця частоти називаєтьсягерцем(скорочено: Гц) на честь німецького фізика Г. Герца.
Число коливань за 2π дорівнює:
Величинаω0 - циклічна, або кругова, частота коливань. Якщо рівнянні (3.14) час t дорівнює одному періоду, то ω0Т = 2π. Таким чином, якщо в момент часу t = 0 х = хm, то і в момент часу t = Т х = хm, тобто через проміжок часу, що дорівнює одному періоду, коливання повторюються.
Частоту вільних коливань називають власною частотою коливальної системи1.
1 Часто надалі для стислості ми називатимемо циклічну частоту просто частотою. Відрізнити циклічну частоту від звичайної частоти можна за позначеннями.
Залежність частоти та періоду вільних коливань від властивостей системи. Власна частота коливань тіла, прикріпленого до пружини, відповідно до рівняння (3.13) дорівнює:
Вона тим більша, чим більша жорсткість пружини k, і тим менша, чим більша маса тіла m. Це легко зрозуміти: жорстка пружина повідомляє тілу більше прискорення, швидше змінює швидкість тіла. А чим тіло масивніше, тим повільніше воно змінює швидкість під впливом сили. Період коливань дорівнює:
Маючи в своєму розпорядженні набором пружин різної жорсткості і тілами різної маси, неважко переконатися на досвіді, що формули (3.13) і (3.18) правильно описують характер залежності ω0 і Т від k і m.
Чудово, що період коливань тіла на пружині та період коливань маятника при малих кутах відхилення не залежать від амплітуди коливань.
Модуль коефіцієнта пропорційності між прискоренням а і зміщенням х в рівнянні (3.10), що описує коливання маятника, являє собою, як і в рівнянні (3.11), квадрат циклічної частоти. Отже, власна частота коливань математичного маятника при малих кутах відхилення нитки від вертикалі залежить від довжини маятника та прискорення вільного падіння:
Період цих коливань дорівнює:
Ця формула була вперше отримана та перевірена на досвіді голландським ученим Г. Гюйгенсом - сучасником І. Ньютона. Вона справедлива лише малих кутів відхилення нитки.
Період коливань зростає із збільшенням довжини маятника. Від маси маятника не залежить. Це легко перевірити на досвіді з різними маятниками. Залежність періоду коливань від прискорення вільного падіння можна також виявити. Чим менше g, тим більше період коливань маятника і, отже, тим повільніше йде годинник з маятником. Так, годинник з маятником у вигляді вантажу на стрижні відстане за добу майже на 3 с, якщо його підняти з підвалу на верхній поверх Московського університету (висота 200 м). І це лише за рахунок зменшення прискорення вільного падіння із висотою.
Залежність періоду коливань маятника значення g використовується практично. Вимірюючи період коливань, можна точно визначити g. Прискорення вільного падіння змінюється із географічною широтою. Але й цій широті воно скрізь однаково. Адже густина земної кори не всюди однакова. У районах, де залягають щільні породи, прискорення g дещо більше. Це враховують під час пошуку корисних копалин.
Так, залізна руда має підвищену щільність у порівнянні зі звичайними породами. Проведені під керівництвом академіка А. А. Михайлова виміри прискорення вільного падіння під Курськом дозволили уточнити місця залягання залізняку. Спочатку вони були виявлені за допомогою магнітних вимірів.
Властивості механічних коливань використовуються у пристроях більшості електронних ваг. Тіло, що зважується, кладуть на платформу, під якою встановлена жорстка пружина. В результаті виникають механічні коливання частота яких вимірюється відповідним датчиком. Мікропроцесор, пов'язаний із цимдатчиком, переводить частоту коливань в масу тіла, що зважується, так як ця частота залежить від маси.
Отримані формули (3.18) та (3.20) для періоду коливань свідчать про те, що період гармонійних коливань залежить від параметрів системи (жорсткості пружини, довжини нитки тощо).