2.3. Аналітичний спосіб визначення огинаючої родини плоских кривих

Регулярна крива називається огинаючої сімейства плоских кривих, якщо вона в кожній своїй точці стосується хоча б однієї кривої сімейства і кожним своїм відрізком стосується нескінченної кількості кривих сімейства.

Теорема: нехай регулярні криві сімейства задані рівнянням

тоді огинаюча цього сімейства задається рівняннями

Розглянемо скалярний добуток щодо інормального векторів в деякій точці кривої, що обгинається:

‑це координати вектора

‑це координати нормального вектора до кривої, що обгинається.

Рівняння кривої, що обгинається

представимо в наступному вигляді:

Порівнюючи отриманий вираз із скалярним твором

приходимо до висновку, що

Має місце рівняння

‑ це координати дотичного вектора до огинаючої, колінеарного дотичного вектора до кривої, що обгинається, а

‑ це координати нормального вектора когибаемой кривої, тому

Приймаючи до уваги, що

Теорема: нехай регулярні криві сімейства задані рівняннями

тоді огинаюча цього сімейства задається рівняннями

Векторне рівняння кривої, що обгинається:

Також має місце векторне рівняння:

Вектор, що стосується кривої, що обгинається:

Вектор, що стосується огинальної:

Оскільки ці вектори колінеарні, то

звідки випливає, що

Огинальна і обгинальна криві в точці торкання не завжди мають загальну дотичну.

2.4. Аналітичний спосіб визначення огинаючої родини поверхонь

Теорема: нехай регулярні поверхні сімейства задані рівнянням

тоді огинаюча цього сімейства задається рівняннями

Теорема: нехай регулярні поверхні сімейства задані рівняннями

тоді огинаюча цього сімействазадається рівняннями

Сімейство регулярних поверхонь може бути двопараметричним:

тоді огинаюча визначається додатково рівняннями

2.5. Кінематичний спосіб визначення огинаючих сімейства плоских кривих та сімейства поверхонь

Нехай у системі координат

задана поверхня деталі

Ця поверхня здійснює деякий рух у системі координат

Вважатимемо, що становище системи

визначається одним параметром

тоді в системі координат

сімейство поверхонь деталі опишеться рівнянням

На прикладі кривих плоских раніше було показано, що вектор, нормальний до поверхні деталі в системі координат

може бути знайдений наступним чином:

Вектор відносної швидкості в системі координат

визначається так:

можуть бути знайдені з формул перетворення системи координат

у систему координат

Цей висновок справедливий і для регулярної кривої плоскої, що рухається в її площині. Наприклад, якщо така крива лежить у площині

вона є профілем циліндричної поверхні. Якщо для цієї поверхні виконується умова

то, очевидно, ця умова виконується і для зазначеної кривої.

називається рівнянням контакту і означає, що у точках контакту сполучених поверхонь загальний нормальний вектор перпендикулярний швидкості відносного руху.

у випадку може здійснювати складний рух. У цьому випадку швидкість точки цієї поверхні визначається як сума швидкостей складових рухів:

і рівняння контакту набуває вигляду

В одному зі складових рухів поверхня може ковзати сама по собі, тоді цей рух не враховується. Наприклад,якщо поверхня «ковзає сама по собі» зі швидкістю

Отже, якщо відома поверхня деталі рухається і утворює поверхню, що обгинає – вихідну інструментальну поверхню, то характеристику можна визначити як лінію, в кожній точці якої вектор відносної швидкості спрямований по дотичній до поверхні деталі. Взяті у певні моменти часу точки контакту визначають характеристику. Сукупність характеристик, визначених різні моменти часу, у системі координат інструменту дає вихідну інструментальну поверхню, а сукупність характеристик у системі координат деталі дає поверхню деталі.

---