2.3. Статичні характеристики елементів
Передавальні властивості елементів та систем у статичному режимі описують за допомогою статичних характеристик.Статичною характеристикоюелемента називають залежність його вихідної величиниyвід вхідної величиниx
(2.9)
у статичному режимі.
Статична характеристика конкретного елемента може бути задана у формульному вигляді (наприклад, у вигляді алгебраїчної функціїy=cx2 ) або у вигляді графіка (рис. 2.4,а).
Мал. 2.4. Статичні характеристики елементів з одного (а)
і двома (б, в) вхідними величинами
У випадку, коли стан елемента чи системи залежить від кількох вхідних впливівx1,x2, …,xm, то статична характеристика є функцією кількох незалежних змінних
(2.10)
Функція двох зміннихx1 таx2 може бути зображена у вигляді поверхні у тривимірному просторі з декартовими координатамиy,x1,x2 (рис. 2.4,б) або у вигляді сімейства ліній перерізів цієї поверхні, що відповідають кільком фіксованим значенням одного з аргументів (рис. 2.4,в).
Так як статичний режим є приватною формою динамічного режиму, відповідна статична характеристика може бути отримана як приватний вид диференціального рівняння. Для цього необхідно в диференціальному рівнянні елемента прирівняти всі похідні за часом нулю (що відповідає визначенню поняття статичний режим) і тоді отримаємо рівняння статики елемента.
Більшість конструктивних елементів систем у статичному режимі характеризується строгими однозначними співвідношеннями між значеннями вхідний та вихідний величин (рис. 2.5,а,б,в). Ці елементи називаютьстатичною, абопозиційною.
Мал. 2.5. Види статичних показників
Але деякі елементи систем не мають певних передатних властивостей у статичному режимі: при різних значеннях вхідної величиниxвихідна величинаyможе приймати одне і те ж значення (рис. 2.5,г), або, навпаки, при тому самому значенніxвеличинаyможе набувати будь-яких значень (рис. 2.5,д). Такі елементи називаютьастатичними. До них відносяться, наприклад, інтегруючі ланки, які будуть описані у розділі 3.
По виду статичних характеристик елементи поділяють на лінійні та нелінійні. Статична характеристикалінійного елемента(див. рис. 2.5,б) описується лінійною функцієюy=b+ах. Унелінійних елементівзв'язок між вхідний і вихідний величинами виражається зазвичай у вигляді статечних функцій, статечних поліномів, дробових раціональних і складніших функцій.
На рис. 2.6 показані приклади лінійного елемента - двигуна постійного струму з незалежним постійним збудженням (а) і нелінійного - генератора постійного струму з частотою обертання якоря (в) та їх статичні характеристики - відповідно по каналу "uя -n" (б) і по каналу "iв-eг" (г).
Мал. 2.6. Приклади лінійного (а,б) та нелінійного (в,г) елементів
Нелінійні елементи, у свою чергу, поділяють на елементи з суттєво нелінійною статичною характеристикою та елементи з несуттєво нелінійною (лінеаризованою) характеристикою.
Статична характеристика єнесуттєво нелінійною, якщо вона описуєтьсябезперервною функцією, що диференціюється. Практично ця математична умова означає, що графік функціїy=f(x) повинен мати гладку форму (див. рис. 2.4,a). В обмеженому діапазоні зміни вхідної величиниxтака характеристика може бути замінено (опроксимована) лінійною функцією. Наближена заміна нелінійної функції лінійної називаєтьсялінеаризацією. Лінеаризація нелінійної характеристики правомірна, якщо в процесі роботи елемента його вхідна величина змінюється в невеликому діапазоні навколо деякого значенняx=x0.
Статична характеристика вважається істотно нелінійною, якщо вона має злами або розриви. На рис. 2.5,вяк приклад наведена характеристика реле, яке при досягненні вхідного сигналуx(струм в обмотці реле) деякого значенняx1 змінить вихідний сигналy(напруга в коммутируемой ланцюга) з рівняy1 до рівняy2. Заміна такої характеристики прямою лінією з постійним кутом нахилу призвела б до суттєвої невідповідності між математичним описом елемента та реальним фізичним процесом, що відбувається в елементі.
Лінеаризацію гладких статичних характеристик можна здійснювати або методом дотичної, або методом січної.
Лінеаризація за методом дотичної полягає в розкладанні функціїy(x) в інтервалі навколо деякої точкиx0 в ряд Тейлора і в подальшому обліку перших двох членів цього ряду:
(2.11)
деy′(x0)=f(x0) - значення похідної функціїf(x) у заданій робочій точці А з координатамиx0 іy0. Геометричний зміст такої лінеаризації полягає в заміні кривоїf(x) дотичної ВС,проведеної до кривої в точці (рис. 2.7,а).
При розрахунку систем управління зручно лінеаризовані статичні характеристики виду (2.11) розглядати в відхиленнях зміннихyтаxвід значеньy0 таx0 :
(2.12)
або
де Δx=x-x0, Δy=y-y0,k=y′(x0). Отже, перехід від запису (2.12) до запису (2.13) рівняння статики відповідає переходу від вихідної системи координатx0yдо системи ΔxAΔy.
Мал. 2.7. Лінеаризація статичних характеристик проведенням
дотичної (а) і січної (б)
Коефіцієнт пропорційностіkміж відхиленнями вхідний і вихідний величин у статичному режимі називаютьпередавальним коефіцієнтом. Передавальний коефіцієнт є основним параметром лінійних та лінеаризованих елементів статичного типу: його числове значення повністю характеризує передавальні властивості елемента у статиці.
Розмірність передатного коефіцієнта дорівнює відношенню розмірності вихідної величини до розмірності вхідної величини
Наприклад, у електричного двигуна передавальний коефіцієнт каналом «напруга - частота обертання» має розмірність (про/с)/В.
Якщо вихідна статична характеристика задана у формульному вигляді, то передатний коефіцієнт знаходять як значення похідної у робочій точці
(2.15)
а якщо характеристика задана графічно, то передавальний коефіцієнт може бути визначений як тангенс кута α нахилу дотичної (див. рис. 2.7,а)
(2.16)
Лінеаризація може бути виконана і в тому випадку, якщо вихідна величина є гладкою функцією кількох змінних.Лінеаризована статична характеристика у відхиленнях матиме вигляд
(2.17)
Лінеаризацію за методом сіючої здійснюють безпосередньо на графіку - проведенням прямої лінії (на рис. 2.7,блініяBC) таким чином, щоб у деякому заданому діапазоні зміни аргументуxспрямлена характеристика була в середньому якомога ближче до вихідної лінеаризується характеристикиf(x). При цьому передавальний коефіцієнт лінеаризованої характеристики визначають як відношення відповідних один до одного прирощень:
Формулою (2.18) для визначення коефіцієнтаkможна користуватись і при застосуванні методу дотичної.
Метод січної можна використовувати і при аналітичному розв'язанні задачі лінеаризації. При цьому зазначена вище умова близькості лінеаризованої характеристики до вихідної формалізується у вигляді критерію мінімуму суми квадратів відхилень. На закінчення відзначимо, що лінеаризація за методом дотичної дає хороший збіг поблизу робочої точки і найгірше біля меж робочої зони, а апроксимуюча пряма, отримана за методом січної (найменших квадратів), має меншу середню розбіжність з вихідною характеристикою, хоча її нахил може і не з нахилом кривої у робочій точці.
Приклад.Лінеарізуємо нелінійну статичну характеристикуp=f(q) (рис. 2.8,б) витратоміра газу (рис. 2.8,а), що складається з шайбиШу трубопроводі та диференціального манометраДМ. З аеромеханіки відомо, що перепад тискур=р1 -р2 (Н/м 2 ) на шайбі, що звужує площу перерізу трубопроводу, пов'язаний з витратоюq(м 3 /с) квадратичною залежністю
деc- постійний коефіцієнт; внадалі прийнятос=100 (Н/м 2 )/(м 3 /с).
Мал. 2.8. Приклад лінеаризації нелінійного елемента
Лінеарізацію здійснимо в заданій точціq0 = 7 м 3 /с іp0 = 4,9 10 3 Н/м 2 . Передавальний коефіцієнт визначимо за формулою (2.15) як похідну функції (2.19) у заданій точці
(2.20)
Тепер можна записати лінеаризовані рівняння статики витратоміра в абсолютних значеннях
(2.21)
або у відхиленнях
справедливі у заданій точці.
Передавальний коефіцієнтkможна визначити за графіком на рис. 2.8,б- проведенням дотичної до точкиA.