2.5.3. Метод моментів
Метод запропонований К. Пірсоном у 1894 р. Сутність методу:
вибирається стільки емпіричних моментів, скільки потрібно оцінити невідомі параметри розподілу. Бажано застосовувати моменти молодших порядків, оскільки похибки обчислення оцінок різко зростають із збільшенням порядку моменту;
обчислені за ЕД оцінки моментів прирівнюються до теоретичних моментів;
параметри розподілу визначаються через моменти і складаються рівняння, що виражають залежність параметрів від моментів, в результаті виходить система рівнянь. Вирішення цієї системи дає оцінки параметрів розподілу генеральної сукупності.
Приклад 2.4.Припустимо, що випадкова величинаХмає гамма-розподіл. Необхідно знайти оцінки параметрів цього розподілу (можна зазначити, що нормальний розподіл є окремим випадком гамма-розподілу).
Рішення.Функція щільності гамма-розподілу має вигляд
Розподіл характеризується двома параметрамиνта λ, тому слід висловити один параметр через оцінку математичного очікування, а інший – через оцінку дисперсії. Математичне очікування та дисперсія цього розподілу рівніν/λ іν/λ2відповідно. Нехай їх оцінки визначені рівні:
Складемо систему рівнянь для оцінюваних параметрів
Розділивши оцінку математичного очікування на оцінку дисперсії, отримаємо
Метод моментів дозволяє отримати заможні, достатні оцінки, вони за досить загальних умов розподілені асимптотично нормально. Зміщення вдається усунути запровадженням поправок. Ефективність оцінок низька, тобто. навіть при великих обсягах вибірок дисперсія оцінок відносно велика (за винятком нормального розподілу, для якогометод моментів дає ефективні оцінки). У реалізації метод моментів простіше методу максимальної правдоподібності. Нагадаємо, що метод доцільно застосовувати для оцінки не більше чотирьох параметрів, так як точність вибіркових моментів різко падає зі збільшенням їх порядку.
2.5.4. Метод квантилів
Сутність методу квантилей ідентична методом моментів: вибирається стільки квантилей, скільки потрібно оцінити параметрів; невідомі теоретичні квантил, виражені через параметри розподілу, прирівнюються до емпіричних квантил. Рішення отриманої системи рівнянь дає оцінки параметрів, що шукаються.
ДисперсіяD(xG)вибіркової квантили обернено пропорційна квадрату щільності розподілу
на околицях точкиxG. Тому слід вибирати квантил поблизу тих значеньх, в яких щільність ймовірності максимальна.
Приклад 2.5. Оцінити методом квантилей параметри нормального розподілу випадкової величини.
Рішення.Оскільки потрібно визначити два параметри розподілуmіS,то виберемо з варіаційного ряду дві емпіричні квантилі. Наприклад, можна взяти
Використовуючи стандартні функції математичних пакетів, для вибраних значеньG1таG2визначимо значення аргументів теоретичної функції розподілу для стандартизованої змінної
Складемо систему з двох рівнянь
Рішення системи дозволить знайти шукані оцінки параметрів
Метод квантилів дозволяє отримати асимптотично нормальні оцінки, проте вони несуть у собі певний суб'єктивізм, пов'язаний із відносно довільним вибором квантилів. Ефективність оцінок не вища за метод моментів. Визначення оцінок може призводити до необхідності чисельногорозв'язання досить складних систем рівнянь.
Оцінки, обчислені з урахуванням різних методів, різняться. Універсальної відповіді на питання, який із розглянутих методів краще чи слід покластися на даний метод при вирішенні будь-якого завдання, немає. Значення оцінки у кожному даному випадку (для різних вибірок) відрізняється від істинного значення параметра на невідому величину, інакше кажучи, існує певна частка невизначеності у знанні дійсного значення параметра. Якість оцінок можна визначити побічно шляхом перевірки узгодженості емпіричних даних та теоретичного закону розподілу.