2.7. Кубічний сплайн

Побудуємо на відрізку [A,B] функціюSi(X) так, щоб на кожному відрізку

[X i-1 , x i] (I=1. n) функціяSi(X) являла собою поліном третього ступеня

Si(X)=ai+ bi(Xi-x)+Ci(Xi- x)2+Di(Xi-x)3

І у вузлахXiмала першу і другу безперервні похідні:

(X)= - bi - ci(Xi-x)-Di(Xi-x)2,

(X)=Ci+Di(Xi-X),

(A) ==0.

Використовуючи умову інтерполювання та безперервності, маємо:

(Xi)=(Xi),

(Xi)=(Xi),

Далі, позначившиYi=f(Xi) таHi+1=xi+1-xi, отримаємо, що

ai=ai+1+bi+1hi+1+Ci+1+Di+1,(2.2)

bi=bi+1+ci+1hi+1+Di+1,(2.3)

Di+1=(I=0,1.N-1). (2.5)

Підставимо (2.5) у (2.2) і висловимоBi+1:

Bi+1=(I=0,1,…N-1). (2.6)

Підставимо (2.6) і (2.5) (2.3) і отримаємо систему з (N-1) триточкового рівняння щодо змінноїC:

φI= 6.

Рівняння (2.7) за крайових умов ((A) ==0) c0=0, cn=0Вирішується методом прогонки:

Запишемо формулу (2.8) для Ci-1 І підставимо в рівняння (2.7):

αi(Pi ci + qi)+βi ci + γici+1 =φi.

Виразимо звідсиCi:

Ci=Ci+1+.

Порівнюючи з формулою (2.8), випишемо формули для прогоночних коефіцієнтівPi+1Іqi+1:

Pi+1=,

Qi+1=(I=1,…,N-1).

Для обчисленняP1, q1Запишемо крайову умовуC0=0У вигляді (2.8):

Звідси випливає, щоP1=0, q1=0.Визначимо всіPi+1,QI+1ДляI=1,…N-1І, знаючи граничну умовуCn=0(2.8) дляI=N-1,…,1,знайдемо всіCi.. Потім з формул (2.5) і (2.6) отримаємо коефіцієнти, що залишилися, для кубічного сплайну.

---