3 Відносини еквівалентності на безлічі латинських квадратів
Число класів еквівалентності
Число головних класів
Число ізотопічних класів
4 Ортогональні латинські квадрати
Два латинські квадрати L = (lij) і K = (kij) n-го порядку називаються ортогональними, якщо всі впорядковані пари (lij, kij) різні. Приклад двох ортогональних латинських квадратів та відповідні їм упорядковані пари:
Ейлер називав такі квадрати "повними". На його честь у науковій літературі їх раніше називали "ейлеровими" або "греко-латинськими" (оскільки Ейлер використовував літери грецького алфавіту для квадрата, ортогонального латинському).
Ортогональні латинські квадрати існують для будь-якого n, що не дорівнює 2 і 6.
Латинський квадрат L n-го порядку має ортогональний йому квадрат тоді і тільки тоді, коли в L існує n трансверсалей, що не перетинаються.
Особливий інтерес у зв'язку з численними додатками викликають безліч із кількох попарно ортогональних латинських квадратів n-го порядку. Максимально можлива потужність N(n) такої множини дорівнює n-1, у цьому випадку множина називається повним.
При n, що прагне ∞, величина N(n) теж прагне ∞.
Для n, що є ступенем простого числа, завжди існує безліч попарно ортогональних латинських квадратів, його можна однозначно зіставити з кінцевою проективною площиною порядку n. Для його побудови застосовується метод Боуза, який використовує для заповнення квадратів значеннямногочленів виду fa(x,y)=ax+y при ненульовому a надполем.[3] Приклад побудови повної множини попарно ортогональних латинських квадратів 4-го порядку (d – корінь примітивного багаточлена x2 x+1 над):
Якщо n ≡ 1 (mod 4) або n ≡ 2 (mod 4) і вільна від квадрата частина числа n містить хоча б один простий множник p ≡ 3 (mod 4), тодля таких повної множини попарно ортогональних латинських квадратів не існує.