3.3. Оцінка ануїтету з періодом більше року Основні положення
Насправді широко поширені ануїтети, періоди яких перевищують базові періоди нарахування відсотків. Зокрема, якщо базовий період дорівнює року, то період ануїтету не перевищує одного року. Однак зустрічаються ситуації, пов'язані з ануїтетом, коли його період більший за рік.
Формули для оцінки майбутньої та наведеної вартості ануїтету, період якого більший за базовий період нарахування відсотків, аналогічні формулам для оцінки майбутньої та наведеної вартості звичайного ануїтету. Формули для оцінок ануїтету пренумерандо виходять з відповідних формул для оцінок ануїтету постнумерандо з використанням, як правило, того факту, що грошові надходження пренумерандо починаються на період (ануїтету) раніше ніж постнумерандо.
Типові приклади та методи їх вирішення
Приклад 3.3.1.Працівник укладає з фірмою пенсійний контракт на 12 років, згідно з яким на рахунок працівника в банку наприкінці кожного дворічного періоду надходитиме по 3 тис. руб. Потрібно визначити нарощену суму до кінця дії контракту, якщо на суми, що надходять, будуть нараховуватися: а) щорічно складні відсотки за номінальною річною процентною ставкою 24%; б) щоквартально складні відсотки за номінальною річною відсотковою ставкою 24%; в) безперервні, відсотки із силою зростання 24% протягом року.
Рішення.Грошові надходження утворюють постійний ануїтет постнумерандо зА= 3 тис. руб., Терміномп= 12 років і періодомі= 2 роки. Отже, період ануїтету большебазового періоду нарахування відсотків, що дорівнює року. Схематично це виглядає так:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12tроків
а) У цьому випадкуr= 24%,m= 1 і за формулою (146) отримаємо:
тис. руб.
б) Оскільки в цьому випадкунарахування відсотків щоквартальне, тоm= 4 і за формулою (146) отримаємо:
тис. руб.
в) Вважаючи
тис. руб.
Приклад 3.3.2.Визначте суму, яку необхідно помістити на рахунок у банку, щоб протягом 15 років наприкінці кожного трирічного періоду мати можливість знімати з рахунку 8 тис. руб. гроші з рахунку, якщо на грошові суми, що перебувають на рахунку, будуть нараховуватися: а) щорічно складні відсотки за ставкою 20%; б) кожні півроку складні відсотки за ставкою 20%; в) безперервні відсотки із силою зростання 20%.
Рішення.У всіх випадках треба визначити наведену вартість постійного ануїтету зА= 8 тис. руб., Періодомu= 3 роки і строкомn= 15 років.
а) Оскількиr=20%, то, застосовуючи формулу (147) приm= 1, отримаємо:
тис. руб.
б) У цьому випадкуm= 2,r= 20%, і тому з формули (147) випливає, що:
тис. руб.
в) Оскільки в цьому випадку нараховуються безперервні відсотки з силою зростання
тис. руб.
Приклад 3.3.3.На рахунок у банку на початку кожного дворічного періоду надходитиме по 8 тис. руб. протягом 10 років. Потрібно визначити: а) майбутню вартість ануїтету; б) наведену вартість ануїтету, якщо на суми, що надходять, щорічно нараховуватимуться декурсивні складні відсотки за ставкою 22% річних.
Рішення.Згідно з умовою маємо ануїтет пренумерандо з членомА= 14 тис. руб., Періодомu= 2 роки і строкомn= 10 років. Складна процентна ставкаr= 22% річних та кількість нарахувань відсотківm= 1.
а) Відповідно до формул (146) і (152) отримаємо:
тис. руб.
б) заформулам (147) та (153):
тис. руб.
Приклад 3.3.4.Підприємець придбав обладнання в кредит за 900 тис. руб. під 25% річних, що нараховуються за схемою складних відсотків на непогашений залишок. Повертати борг потрібно рівними сумами наприкінці кожного другого року та їм сплачувати весь борг за 10 років. Потрібно визначити величину кожного платежу та скласти план погашення боргу.
Рішення.Позначимо черезАвеличину кожного шуканого платежу. Потік цих платежів є ануїтет постнумерандо, для якого
руб.
Тепер пояснимо складання плану погашення боргу. Оскільки протягом двох років підприємець користувався кредитом у вигляді 900000 крб., то платіж, який дорівнює 567147 крб. і буде зроблено наприкінці другого року, складається з наступних двох частин: складних відсотків за два роки в сумі 506 250 руб. (Руб.) і погашається частини боргу у сум 567147 - 506250 = 60897 руб. У наступному дворіччі розрахунок буде повторений за умови, що розмір кредиту, яким користь підприємець, складе вже меншу суму в порівнянні з першими двома роками, а саме: 900 000 - 60897 = 839 103 руб. Таким чином, складні відсотки за два роки дорівнюватимуть 471995руб. (Крб.), а погашена частина боргу буде дорівнює 567147 - 471995 = 95152 руб. і т.д. Зрозуміло, що з часом сума відсотків, що сплачуються, знижується, а частка платежу в рахунок погашення боргу зростає.
План погашення боргу подаємо у вигляді таблиці