3.4.2. Структурні схеми рекурсивних ЦФ
На рис. 3.13 зображено схему алгоритму обчислень, що проводяться відповідно до формули (3.19). Верхня частина структурної схеми відповідає нерекурсивної частини алгоритму фільтрації. Для її реалізації потрібно у випадку масштабних блоків (операцій множення) і m осередків пам'яті, у яких зберігаються вхідні відліки.
Рекурсивній частині алгоритму відповідає нижня частина структурної схеми (рис.3.13). Тут використовуються n послідовних значень вихідного сигналу, які в процесі роботи фільтра переміщуються з комірки до комірки шляхом зсуву. Недоліком даного принципу реалізації є потреба у великій кількості осередків пам'яті, окремо для рекурсивної та нерекурсивної частин. З цієї точки зору більш досконалими вважаються канонічні схеми рекурсивних ЦФ, в яких використовується мінімально можлива кількість клітин пам'яті, що дорівнює найбільшому з чисел m або n.
Як такий приклад на рис. 3.14 зображено структурну схему канонічного рекурсивного фільтра 2-го порядку, якій відповідає системна функція виду:
Для того щоб переконатися, що ця система (рис. 3.14) реалізує задану функцію, розглянемо допоміжний дискретний сигнал на виході суматора 1 і запишемо два рівняння:
. (3.23).
Виконавши z-перетворення рівняння (3.22), знаходимо, що:
З іншого боку, відповідно до виразу (3.23)
Об'єднавши співвідношення (3.24) та (3.25), приходимо до заданої системної функції (3.21).
Фільтри з нескінченною імпульсною характеристикою зазвичай реалізуються за допомогою ланок другого порядку, які називаються біквадратними фільтрами, тому що описуються біквадратними рівняннями z-області. Фільтри високого порядку проектують, використовуючи каскадування біквадратних ланок. Наприклад,фільтр шостого порядку потребує трьох біквадратних ланок.
Структура біквадратного фільтра БІХ представлена на рис. 3.15. Фільтр працює за алгоритмом, що описується виразом:
Нулі формуються коефіцієнтами прямого зв'язкуb0,b1таb2; а полюси (порядок) визначаються коефіцієнтами зворотного зв'язкуa1таa2.
Загальне рівняння цифрового фільтра має вигляд:
Воно описує узагальнену передатну функціюH(z), яка містить поліноми і в чисельнику, і в знаменнику:
Коріння знаменника визначають розташування полюсів фільтра, а коріння чисельника характеризують розташування нулів.
Хоча існує можливість створення безпосередньо за цим рівнянням БІХ-фільтра вищого порядку (так звана пряма реалізація), помилки квантування, що накопичуються (через арифметики з фіксованою точкою і кінцевої довжини слова) можуть викликати нестійкість роботи фільтра і великі помилки. Тому правильніше розташувати каскадно кілька біквадратних ланок з відповідними коефіцієнтами, ніж використовувати пряму форму реалізації.
Дані п ри обчисленні біквадратних фільтрів можуть масштабуватися окремо, а потім біквадратні ланки каскадуються для мінімізації помилок квантування коефіцієнтів і помилок, що накопичуються рекурсивного накопичення. Каскадні біквадратні фільтри працюють повільніше, ніж їх еквіваленти прямої форми реалізації, але вони стійкіші і в них мінімізуються ефекти, пов'язані з арифметичними помилками кінцевої розрядності даних.
Перша пряма форма біквадратної ланки представлена на рис. 3.16 вимагає використання чотирьох регістрів. Ця конфігурація може бути замінена еквівалентною схемою, представленою на рис. 3.16, яка називаєтьсядругий прямий фор
мій реалізації і вимагає використання тільки двох регістрів (порівняйте з канонічною схемою). Ми вже переконалися, що рівняння, що описують біквадратний БІХ-фільтр другої прямої форми реалізації, такі ж, як і рівняння першої прямої форми реалізації. Як і у випадку КІХ-фільтра, система позначень при зображенні БІХ-фільтра часто спрощується, як показано на рис. 3.17.