36. Потік подій
Визначення.Потоком подійназивається послідовність подій, що відбуваються один за одним у якісь моменти часу.
Характер подій, що утворюють потік може бути різним, а якщо події відрізняються одна від одної лише моментом часу, в який вони відбуваються, то такий потік подій називається однорідним .
Однорідний потік можна зобразити послідовністю точок на осі, що відповідає часу:
Визначення.Потік подій називаєтьсяРегулярним, якщо події слідує одна за одною через суворо певні проміжки часу.
Визначення.Потік подій називаєтьсяСтаціонарним, якщо ймовірність попадання того чи іншого числа подій на ділянку часу t залежить тільки від довжини ділянки і не залежить від того, де саме на осі розташована ця ділянка.
Стаціонарність потоку подій означає, що щільність потоку стала, відсутні проміжки часу, протягом яких подій більше ніж зазвичай. Класичний приклад - "година пік" на транспорті.
Визначення.Потік подій називаєтьсяПотоком без післядій, якщо для будь-яких ділянок часу, що не перехрещуються, кількість подій, що потрапляють на одну з них, не залежить від кількості подій, що опадають на інші.
Відсутність післядії означає, що заявки в систему надходять незалежно один від одного. Потік вихідних подій систем масового обслуговування зазвичай має післядію, навіть якщо вхідний потік не має. Приклад - вхід пасажирів на станцію метро - потік без післядії, тому що причини приходу окремого пасажира не пов'язані з причинами приходу решти, а вихід пасажирів зі станції - потік з післядією, тому що він обумовлений прибуттям поїзда.
Післядія,властиве вихідному потоку слід враховувати, якщо цей потік у свою чергу є вхідним для будь-якої іншої системи.
Визначення.Потік подій називаєтьсяОрдинарним, якщо ймовірність попадання на елементарну ділянку DTдвох або більше подій досить мало порівняно з ймовірністю влучення однієї події.
Умова ординарності означає, що заявки на систему приходять по одному, а не парами, трійками і т. д. Однак, якщо заявки надходятьТількипарами,Тількитрійками тощо, то такий потік легко звести до простого.
Визначення.Якщо потік подій стаціонарний, ординарен і без післядій, то такий потік називаєтьсяПростим (пуассонівським)Потоком.
Ця назва пов'язана з тим, що в цьому випадку кількість подій, які потрапляють на будь-який фіксований інтервал часу, розподілено за розподілом Пуассона.
Відповідно до цього закону розподілу математичне очікування числа точок, що потрапили на ділянку часу t, має вигляд:
L – щільність потоку – середня кількість подій в одиницю часу.
Імовірність того, що за час t станеться рівноТподій, дорівнює
Імовірність того, що протягом цього часу не відбудеться жодної події, дорівнює:
Нехай Т – проміжок часу між двома довільними сусідніми подіями у найпростішому потоці. Знайдемо функцію розподілу
Відповідно до закону розподілу Пуассона, отримуємо:
Математичне очікування, дисперсія та середнє квадратичне відхилення цієї величини відповідно дорівнюють:
Отже, для величини Т отримали показовий закон розподілу.
Приклад.У бюро обслуговування в середньому надходить 12 заявок на годину. Вважаючи потікзамовлень найпростішим, визначити ймовірність того, що: а) за 1 хвилину не надійде жодного замовлення; б) за 10 хвилин надійде не більше трьох замовлень.
Спочатку знайдемо щільність (інтенсивність) потоку, виразивши її у кількості заявок за хвилину. Вочевидь, ця величина дорівнює .
Далі знаходимо ймовірність того, що за час t = 1 хв не надійде жодна заявка за формулою:
Імовірність того, що за 10 хвилин надійде не більше трьох замовлень складатиметься з ймовірностей того, що не надійде жодного замовлення, надійде одне, два або три замовлення.
Приклад.До ресторану прибуває в середньому 20 відвідувачів на годину. Вважаючи потік відвідувачів найпростішим, і знаючи, що ресторан відкривається об 11.00, визначте:
а) ймовірність того, що об 11.12 до ресторану прийде 20 відвідувачів за умови, що об 11.07 їх було 18
б) ймовірність того, що між 11.28 та 11.30 у ресторані опиниться новий відвідувач, якщо відомо, що попередній відвідувач прибув об 11.25.
Для відповідь на перше запитання фактично треба знайти ймовірність того, що у проміжок від 11.07 до 11.12 (t = 5 хвилин) прийде рівно 2 відвідувачі. При цьому ми знаємо інтенсивність потоку відвідувачів – l = 20/60 = 1/3 відвідувачів на хвилину. Звичайно, дана величина має умовний характер, тому що відвідувачі не можуть приходити частинами.
Шукана ймовірність дорівнює:
Тепер перейдемо до другого питання. Нам не сказано скільки саме нових відвідувачів буде в проміжку від 11.28 до 11.30, головне щоб був хоч один. Ця ймовірність дорівнює. ТутР0(2) - ймовірність того, що в цьому проміжку не буде жодного відвідувача.
Якщо потік подій нестаціонарний, його щільність l не є постійної величиною, а залежить від часу.
Визначення.Миттєвою щільністюПотоку подій називається межа відношення середньої кількості подій, що припадає на елементарний відрізок часу (T,T+DT), до довжини цієї ділянки, яка прагне до нуля.
Як видно з наведеного визначення, з урахуванням того, що середня кількість подій на ділянці часу дорівнює математичному очікуванню, то можна сказати, що миттєва щільність потоку дорівнює похідній за часом від математичного очікування числа подій на ділянці (0,T).
Визначення.Нестаціонарним пуассонівським потокомНазивається ординарний потік однорідних подій без післядій зі змінною щільністю l(t).
Для такого потоку кількість подій, що потрапляють на ділянку довжини t, що починається в точціT0, підпорядковується закону Пуассона:
ТутА- математичне очікування числа подій на ділянці відT0ДоT+T0. Воно обчислюється за такою формулою:
ВеличинаАне тільки від довжини ділянки t, а й від її положення у часі. Закон розподілу проміжку Т між двома сусідніми подіями також залежатиме від того, де на часовій осі розташована перша з подій, а також від функції l(t) .
Імовірність того, що на ділянці часу відT0ДоT+T0не з'явиться жодної події, дорівнює
Тоді, відповідно, ймовірність появи хоча б однієї події на цьому інтервалі часу дорівнюватиме:
Щільність розподілу можна знайти диференціюванням:
Ця щільність розподілу не буде показовою. Вона залежить від параметраT0та виду функції l(T). Однак умова відсутності післядії в цьому виді потоку зберігається.