4. Фізичний закон. Узагальнений закон Гука
У розділах 2 і 3 розглянуто два закони деформування тіла: закон рівноваги, що висвітлює статичну сторону завдання теорії пружності, і закон суцільності, що визначає переміщення, деформації та зв'язок між ними та висвітлює задачу з геометричної точки зору. Вочевидь, що це два закону що неспроможні забезпечити вирішення завдань теорії пружності до того часу, поки такі різнорідні ознаки досліджуваного явища як внутрішні сили (напруги) і деформації нічого очікувати пов'язані фізичним законом.
Питання формі фізичного закону теорії пружності поставимо у найзагальнішому вигляді. Незважаючи на тривалість деформування (тобто не враховуючи реологічних властивостей матеріалу), можемо запропонувати залежності типу
σ x = f 1 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) , σ y = f 2 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) ,
τ zx = f 6 ( ε x , ε y , ε z , γ xy , γ yz , γ zx ) .
Конкретні уявлення фізичного закону можливі у багатьох випадках. Вони встановлюються за допомогою фізичних дослідів обраного класу матеріалів. При цьому можливі два шляхи:
- поставитися з міркувань аналітичними співвідношеннями фізичного закону, а потім провести експерименти для його перевірки та визначення деяких коефіцієнтів, що містяться у прийнятому аналітичному поданні закону;
- Накопичити експериментальні дані, а потім, піддавши їх обробці, підібрати рівняння фізичного закону, що достатньо виправдовуються для певного класу матеріалів.
Перший шлях краще, оскільки допускає загальну теоретичну постановку завдання.
Оскільки розшукуються залежності фізичного характеру, математична форма функцій f 1 . , f 6 заздалегідь нічим не
обумовлена, і її можна вибрати на свій розсуд: достатньо щобвона відповідала фізичним умовам завдання, тобто. могла б правильно відбивати досліджуване фізичне явище. Користуючись цим, виберемо найпростішу математичну форму залежностей фізичного закону – лінійну:
σ x = a 11 ε x + a 12 ε y + a 13 ε z + a 14 γ xy + a 15 γ yz + a 16 γ zx ,
σ y = a 21 ε x + a 22 ε y + a 23 ε z + a 24 γ xy + a 25 γ yz + a 26 γ zx ,
τ zx = a 61 ε x + a 62 ε y + a 63 ε z + a 64 γ xy + a 65 γ yz + a 66 γ zx .
На користь обраної лінійної форми фізичного закону можна навести такі аргументи.
1. Можна стверджувати, що лінійна форма є наближеною заміною будь-яких аналітичних форм фізичного закону за умови деформації.
Справді, якщо розкласти функції σ x , σ y , … , представлені у довільній аналітичній формі, до ряду Маклорена
(приватний випадок розкладання в ряд Тейлора в нульовій точці), то з точністю до малих другого порядку матимемо:
Такий запис справедливий, оскільки обмежуємось випадком малих деформацій.
Порівнюючи запис ряду Маклорена з прийнятими лінійними рівняннями для фізичного закону, бачимо, що у рівняннях відсутні вільні члени типу (f i ) 0 (i = 1, 2, ., 6). Введення та-
ких доданків у рівняння фізичного закону призводить до наявності напруг, відмінних від нуля, при деформаціях, рівних нулю. Таке, в принципі, можливе (наприклад, наявність у тілі залишкових напруг), але в теорії пружності приймають гіпотезу про природний стан тіла, вважаючи, що за відсутності деформацій у тілі напруги в ньому дорівнюють нулю. Прийнята гіпотеза, звісно, позбавляє можливості розгляду рамках теорії пружності певного класу завдань.
Зауважимо, що коефіцієнти у розкладанні вважаємо відмінними від нуля,оскільки існування лінійної залежності більшості матеріалів ясно виявляється найпростішими експериментами, наприклад, при одновісному розтягуванні.
2. Багато матеріалів підпорядковуються лінійному закону якщо аж до руйнування, то хоча б деякій ділянці деформування, має значення для стадії експлуатації.
3. Заданим деформаціям у цій точці має відповідати одна єдина система напруг і назад (однозначність рішення). Цій умові лінійна форма фізичного закону задовольняє.
4. Лінійний фізичний закон разом із умовою дещиці деформацій забезпечує лінійну постановку завдань теорії пружності, що має істотне значення для отримання більш простих рішень.
Рівняння фізичного закону містять 36 коефіцієнтів a mn , за змістом пружними постійними (характери-
стиками матеріалу). Число пружних постійних тіла в загальному випадку, як бачимо, дуже велике, проте воно значно скорочується, якщо ввести гіпотезу про потенціал пружних сил (гіпотезу про оборотність витраченої роботи).
4.1. Робота пружних сил у твердому тілі. Потенціал пружних сил
Обчислимо роботу внутрішніх пружних зусиль на можливих переміщеннях.
Компоненти дійсних переміщень позначимо через u, v, w, а компоненти можливих - через u, δ v, δ w. Приймемо, що компоненти можливих переміщень є малими величинами, що являють собою безперервні функції x, y, z.