4.2. Загальний метод побудовидовірчих інтервалів
Метод дозволяє за наявною випадковою вибіркою побудувати функціюu(Θ,Θ*), розподілену асимптотично нормально з нульовим математичним очікуванням та одиничною дисперсією. В основі методу лежать такі положення. Нехай:
f(х,Θ*)– щільність розподілу випадкової величини Х;
Якщо математичне очікуванняМ(у)=0 і дисперсія Y кінцева, то розподіл випадкової величини
асимптотично нормально з параметрами 0 і 1 при n→∞.
Приклад 4.1. Побудувати довірчий інтервал з надійністюg=1–aдля оцінкиm*xматематичного очікуванняmxвипадкової величиниХ, що має експоненційний розподіл з функцією щільності
Рішення.Відомо, що для експоненційного закону розподілу математичне очікуванняm1= 1/λ, а дисперсіяm2=1/λ2. Позначимо через оцінку параметраλ. Визначимо оцінку математичного очікуванняm*x, допоміжну зміннуу, похідну від логарифму функції прачвдоподібності:
Оцінкаm*xпараметраmxє заможною та незміщеною, отже:
Тоді випадкова величина
розподілена нормально з параметрами 0 та 1.
Нормальний розподіл симетрично, тому межі інтервалу слід вибрати симетрично щодо нульової точки. Імовірністьg==1–aтого, що модуль величиниwне перевищить певного заданого значенняd, становитиме
де Ф(d) – значення функції нормального розподілу у точціd.
Розмірdдорівнює квантиліu1–a/2стандартногонормального розподілу рівня 1-a/2. Значення абсолютної похибки оцінювання
Отже, маючи достатній обсяг вибірки ЕД і задаючи певний рівень надійності g можна визначити довірчий інтервал
який із заданою ймовірністю містить невідомий параметрmx.
Аналогічні результати для деяких параметрів розподілу можна отримати, використовуючи простіші міркування.
4.3. Довірчий інтервал для математичного очікування
Нехай за вибіркою досить великого обсягу,n> 30 і при заданій довірчій ймовірності 1–aнеобхідно визначити довірчий інтервал для математичного очікуванняmx, в якості оцінки якого використовується середнє арифметичне
Закон розподілу оцінки математичного очікування близький до нормального (розподіл суми незалежних випадкових величин із кінцевою дисперсією асимптотично нормально).
Якщо вимагатиме абсолютної надійності оцінки математичного очікування, то межі довірчого інтервалу будуть нескінченними [– ∞, +∞]. Вибір будь-яких вужчих кордонів пов'язані з ризиком помилки, ймовірність якої визначається рівнем значимостіa. Інтерес представляє максимальна точність оцінки, тобто. найменше значення інтервалу. Для симетричних функцій мінімальний інтервал теж буде симетричним щодо оцінки mx. У цьому випадку вираз для довірчої ймовірності має вигляд
P(m*x–mx*xє незміщеною, заможною та ефективною оцінкою математичного очікування, тому її значення приймаємо за значення математичного очікування. 2>x, враховуючи,що цей параметр дорівнює середньому арифметичному однаково розподілених випадкових величинxi(отже, їх дисперсіїD(xi)однакові і рівні S2)
.
Отже, випадкова величинаm*xрозподілена за нормальним законом з параметрамиm*xіS2/n. Для встановлення необхідних співвідношень доцільно перейти до центрованих та нормованих величин. Виразm*x–mxможна трактувати як центрування випадкової величиниm*x. Нормування здійснюється розподілом на величину середньоквадратичного відхилення оцінкиm*1
Для стандартизованої величини ймовірність дотримання нерівності визначається за функцією нормального розподілу
де
Неважко помітити, що це вираз аналогічно за змістом формулі, отриманої з використанням загального методу побудови довірчого інтервалу.
При фіксованому обсязі вибірки з (4.1) випливає, що чим більша довірча ймовірність 1–a, тим ширша межа довірчого інтервалу (тим більша помилка в оцінці математичного очікування). Ця рівність дозволяє визначити необхідний обсяг вибірки для отримання оцінки математичного очікування із заданою надійністю та необхідною точністю (похибкою):
Якщо перейти до відносної похибки, ε0 = ε/m*x, то
Таким чином, щоб знизити відносну похибку на порядок, необхідно збільшити обсяг вибірки на два порядки. Наведена формула часто використовується у статистичному моделюванні для визначення необхідної кількості випробувань моделі.
У багатьох випадках припущення про нормальний розподіл випадкової величиниm*xстає прийнятним приn> 4 і добре виправдовується приn>10. Оцінкаm*xцілком придатна для застосування замістьmх. Але не така ситуація з дисперсією, правомочність її заміни наS2не обґрунтована навіть у зазначених випадках. При невеликому обсязі вибірки,n2приймати за нормальний невиправдано. Її розподіл слід апроксимувати розподілом хі-квадрат як суми квадратів центрованих величин (хі-квадрат розподіл сходиться до нормального при кількості доданків, що перевищує 30). Але це твердження обґрунтоване лише для випадку, коли випадкова величина Х розподілена нормально.
З урахуванням зроблених припущень величинаzпідпорядковуватиметься закону розподілу Стьюдента зn–1 ступенями свободи (одна міра свободи використана визначення оцінки дисперсії). Розподіл Стьюдента симетричний, тому отримане співвідношення між точністю, надійністю оцінки та обсягом вибірки зберігається, змінюються лише значення квантилів. Замість квантил нормального розподілуu1–a/2слід взяти квантильt1–a/2(n–1)розподілу Стьюдента з (n–1) ступенями свободи . Значення критичних точок розподілу Стьюдента для деяких ймовірностей та різних ступенів свободи представлені в таблицях. Порівняння таблицьпоказує, що квантили розподілу Стьюдента більше за квантилі нормального розподілу того ж рівня надійності при маломуn. Інакше висловлюючись, застосування нормального розподілу при невеликому обсязі вибірки ЕД призводить до невиправданого завищення точності оцінки.
Приклад 4.2.Визначити з надійністюg= 0,9 довірчий інтервал для математичного очікування випадкової величини з точковими оцінкамиm*х=27,51 іS2=0,91,n= 44.
Рішення.Інтервал двосторонній, симетричнийa= 0,1. Обсяг вибірки вважатимуться великим, тому скористаємося нормальним розподілом, тодіu0,95= 1,96. Допустиме відхилення
З ймовірністю 0,9 НДГ інтервалу складе θ0=27,51-0,28=27,23, ВДГ інтервалу θ1= 27,51 + 0,28 = 27, 79.
Іншими словами, з ймовірністю 0,9 значення математичного очікування лежить у межах від 27,23 до 27,79.
Приклад 4.3.Визначити з надійністюg= 0,9 (a= 0,1) довірчий інтервал для математичного очікування випадкової величини з точковими оцінкамиm*х= 55 іS2= 658,6. Об'єм вибіркиn=6
Рішення.Обсяг вибірки n=6 не можна вважати великим, тому скористаємося розподілом Стьюдента при числі ступенів свободи, що дорівнює 5. Тоді для двосторонньої критичної області відповідно до табл. Функції Стьюдента допустиме відхилення стандартизованої випадкової величини становитиме
Допустиме відхилення вихідної величини складе
У цьому прикладі використання нормального розподілу замість розподілу Стьюдента призведе до невиправданого звуження інтервалу 2,015/1,64 = 1,3 раза.