5 Анулюючі багаточлени
10 Теорема Гамільтона – Коші
P(x) багаточлен над k
Тоді багаточлен від оператора – це такий анулюючий багаточлен, який виходить підстановкою замість ч оператора
Визначення: A:LL P(x) – багаточлен називається анулюючим багаточленом оператора А або анулятором, якщо справедлива рівність
Анулюючий багаточлен називається мінімальним, якщо він по-перше анулятор, по-друге має найменший ступінь серед інших ануляторів
P(A)(e 2x )=(A-2E) 2 (A-2E)(e 2x )= (A-2E) 2 (2e 2x -2e 2x )=0
P(A)(x 2 e 2x )=(A-2E) 2 (A-2E)(x 2 e 2x )=(A-2E) 2 (2xe 2x +2x 2 e 2x -2x 2 e 2x )= (A-2E)(A-2E)(2xe 2x )=(A-2E)(2e 2x +4xe 2x -4xe 2x )=0
P(A)=(A-2E) 3 анулює всі вектори і отже все вир-во
Лемма:Якщо A:LL, то є анулір мн (dimL 2
док-во розглянемо базис e1, ..., en - розглянемо Ae e
(Ae e) 0, Ae e, (Ae e) 2, ... (Ae e) n^2 n^2+1 матриця - ЛЗ
0(
P(x)*Q(x) – той самий анулятор
Лемма3: вищий анул мн можна ділити на мінім анул мн.
Deg(r) 2 e 2x ,xe 2x ,e 2x >
Jn(л)=
Jk 2 (O)=
1-я матриця обнулюється на 3 кроці
ступеня одного оператора перестановки.
Лемма: 4 Якщо в лінійному просторі LМ – інваріантно, то XA(A)=XA(A/M)Q(x)
e1…ek – базисM доповнимо до базису
Теорема Гамільтона Келі.
Теорема: (Гамільтона Келі) A: L L
Характеристичний багаточлен є анулятором всього простору Xa(A)=0
Доказ: (тільки для замкнутого алгебри) доказ - індукція за розмірністю простору.
а) Нехай dim L=1 тоді A: LL – множення на число.
A(x)=x якщо x0,він утворює базис.
б) Припускаємо XA(A)>0, якщоdim L N+1 т.к. поле алгебраїчно замкнуте
розглянемо Xa(), існує - власне число та існує власний векторe1
Візьмемо цей вектор і доповнимо його до базису e1, e2…eN+1
Розглянемо лінійну оболонку свого вектора М=Z1> та фактор простір L/М=
На фактор просторі операторA=A породжуєА:L/ML/M
Ax=Ax=Ax+M
Вектори у фактор просторі e2+M1e3+…+M1eN+1– базис L/M фактор простору => тоді А1-є матрицею А1-матрицяА в цьому базисі
dim L/M=N = gt; XA(t) – ануляторА це означає, що якщо підставитиX замість t
XA1(A)= XA(A) – це нульовий оператор у просторі L/М
Це означає, що XA1(A)x= XA1(A) х+М)= XA1(A)х+М – це нульовий клас
Наслідок: Будь-який min анулятор є дільником характеристичного багаточлена оператора.
6. Жорданова канонічна форма лінійного оператора.
Визначення: Jk()=
Матриця називається жерданової клітиною, якщо вона клітинно-діагональна з квадартними блоками і кожен з них – жердина клітина.
J=
Теорема: Нехай А:LLназивається замкненим алгебраїчним полем, тоді існує базис у якому матриця цього оператора – жорданова.
Жорданова матриця єдина з точністю до перестановки клітин, жорданів базис визначається не єдиним чином.
Теорема: k – замкнене алгебраїчне поле L – лінійний простір над k
Ae e =
Існує базис е1 ... е2: Аe e =
Якщо L розбито на пряму суму інваріантного простору, то достатньопобудувати жорданову форму звуження кілька підпросторів і потім об'єднати.
Визначення А:LL, кореневим підпросторомL(, що відповідає числом, називається безліч xL, що задовольняє умові (А-E) r x=0
Примітка: кожен власний вектор для цього є кореневим зі значенням r=1
Найменший з усіх rдля цього кореневого вектора називається його висотою.
L() тоді і тільки тоді, коли - власне число.
L() – лінійний простір.
Нехай XA) – характеристичний багаточлен А, поле замкнено алгебраїчно, => кожен многочлен має корінь.
Розкладемо XA на множники.
Li() – утворює оператор.
Доведемо, що простори у 2 та 3 збігаються.
І що весь простір є сумою Li()
Підставимо замість одиниці оператор
застосуємо тотожний оператор
тобто. вектор записали як суми векторів, що у просторах, кожен вектор можна як суму доданків, кожен із яких лежить у просторі.
Доведемо, що пряма сума.
L=L1(1)L2(2)LS(S), припустимо, що вектор X лежить у перетині одного з цих просторів із сумою.
XA - анулює весь простір по теоремі Гамільтона Келлі, тобто. цей образ 0
треба довести, що якщо вектор кореневий, він лежить в Li(i)