§5. ІЗОМОРФІЗМ ГРУП

1s) Елемент a − 1 є як лівим, так і правим оберненим а .

2s) У будь-якій групі рівняння ах = b і ya = b однозначно можна розв'язати, причому x = a − 1 b ,

3s) У групі є єдиний нейтральний елемент.

4 °. ( ab ) − 1 = b − 1 a − 1 .

( ab )( b − 1 a − 1 ) = a ( bb − 1 ) a − 1 = aa − 1 = e

§5. ІЗОМОРФІЗМ ГРУП

Дві групи G 1 і G 2 називаються ізоморфними, якщо існує взаємно однозначна відповідність f між елементами G 1 і G 2 : G 1 ¾ ® f G 2 така, що якщо

x 1 " y 1 x 2 " y 2

Для ізоморфних груп: e 1 e 2 , a , a − 1 f ( a ), f ( a − 1 ). Ізоморфні групи з погляду групових властивостей невиразні.

Приклади ізоморфних груп:

а) група самосуміщень рівностороннього трикутника та група перестановок із трьох елементів.

б) Група відрахувань за модулем 2: Z 2 та група, що складається з двох перетворень евклідового простору: тотожного перетворення та відображення щодо θ.

Ізоморфне відображення групи G на себе називається автоморфізмом. Якщо окремі автоморфізми групи розглядати як деякі елементи, а послідовне проведення автоморфізмів, як добуток відповідних елементів, то автоморфізми самі собою утворюють групу, одиничним елементом якої є тотожний автоморфізм. Ця група називається групою автоморфізмів цієї групи G.

§6. СМІЖНІ КЛАСИ. НОРМАЛЬНІ ДІЛЬНИКИ

Якщо H 1 і H 2 – підмножини групи G , то добутком H 3 підмножин H 1 та H 2

називається H 3 = H 1 × H 2 º < h 3 ½ h 3 = h 1 × h 2; h 1 Î H 1; h 2 Î H 2 >.

Зазначимо, якщо H 1 і H 2 – підгрупи групи G , то H 1 × H 2 , взагалі кажучи, не підгрупа.

---