§ 5. Обчислення класів

Розвиток адекватної символьної записи поруч із відкриттям формальних властивостей відносин дозволили узагальнити традиційну логіку, як і отримати потужне обчислення.

Наприклад, операції складання, множення тощо. буд. у математичних науках можна розглядати термінах теорії відносин. Так, операція складання ґрунтується на тримісному відношенні. Відношення а + Ь = зв'язує два доданки, а і Ь, з с. Дане відношення є багато-однозначним, оскільки будь-якій парі доданків відповідає одна, і тільки одна, сума, тоді як одній сумі відповідає невизначена кількість пар доданків. Однак якщо сума і один із доданків зафіксовані, то інший доданок однозначно визначний. Подібні тримісні відносини, що у різних видах операцій, можна вивчати і докладніше.

Однак немає необхідності в тому, щоб цими операціями були лише звичайні операції алгебри. Операції, загалом які стосуються типу некількісних, були вироблені поєднання класів, розглянутих зі своїми обсягами.

Нижче ми пропонуємо короткий опис загальної теорії класів суджень, який хотілося б випередити порадою, взятою з робіт Доджсона: «Якщо ви не зрозуміли певний уривок, перечитайте його заново. Якщо він все одно залишився незрозумілим, перечитайте його знову. Якщо, прочитавши уривок три рази, ви не досягли розуміння, то швидше за все ваш мозок почав втомлюватися. У цьому випадку відкладіть книгу і займіться іншими справами, а наступного дня, коли ви прочитаєте його свіжим поглядом, він, напевно, здасться вам цілком легким для розуміння».

З історії символічної логіки відомо, що спочатку була розроблена теорія класів, оскільки спочатку було помічено, що арістотелівську логіку можна розглядатияк дисципліну, що має справу із взаємозв'язками між класами. Проте за систематичному викладі принципів логіки логіка класів не займає першого місця щодо інших принципів. Стверджувати, що два класи знаходяться один до одного у певному відношенні, означає стверджувати певну думку. Будь-яке дослідження у межах теорії класів використовує принципи теорії суджень. Тому теорія суджень передує будь-якому іншому дослідженню у сфері логіки і має бути розроблена насамперед. Однак у такому елементарному обговоренні, яким є наше дослідження, цю обставину можна знехтувати, оскільки наша основна мета полягає в тому, щоб вказати на той напрямок, у якому може бути розширена традиційна логіка, а не в тому, щоб запропонувати систематичний аналіз узагальненої логічної теорії . Тому нічого страшного не станеться, якщо ми, змінивши логічний порядок, простежимо за хронологічною послідовністю у розробці даних логічних принципів.

Операції та відносини

Під терміном «клас» ми розумітимемо групу індивідуальних об'єктів, кожен з яких має певні властивості, завдяки яким він вважається членом даного класу. Так, клас, що позначається терміном «людина», є безліччю окремих людей, клас, що позначається терміном «парне число», є безліччю парних цілих чисел і т. д. Таким чином, ми розглядатимемо класи щодо їхнього обсягу. Область можливих класів називається універсумом міркування (предметною областю) чи просто універсумом (областю). Він позначатиметься символом «1». Може статися так, що клас не міститиме жодних членів. Наприклад, клас людей зростанням у двадцять футів не має членів, хоча і має визначальну характеристику, асаме: людина зростом у двадцять футів. Такий клас називатиметься нуль-класом і позначатиметься символом «О». Поняття нуль-класу, незважаючи на свою складність для початківців, має багато технічних переваг.

Існує три види операцій над класами, кожен із яких має власне позначення. Розглянемо клас чоловіків на універсумі людей. Виключивши цей клас із вказаного універсуму, ми отримаємо клас жінок. Індивіди, які є членами універсуму, але не є членами класу чоловіків, позначатимуться як «доповнення» до класу чоловіків. Отже, жінки є доповненням до класу чоловіків на даному універсумі міркування. Клас та його доповнення виключають один одного та вичерпують універсум міркування. Якщо «а» є певним класом, то «не-a» представляє його заперечення.

Тепер розглянемо два класи: англійські книги та французькі книги. Клас, що містить англійські чи французькі книги, називається логічною сумою цих класів. Операція об'єднання класів так називається логічним складанням. Якщо а і Ь є класами, їх логічної сумою буде а + Ь. Читається це або як "а плюс Ь", або як "а чи Ь". Ця диз'юнкція не є суворою. Символ «+» використовується, оскільки логічне складання має деякі формальні аналогії в порівнянні зі складанням у звичайній арифметиці.

Далі розглянемо клас професорів та клас дратівливих людей. Припустимо, ми хочемо вибрати всіх індивідів, які є членами обох класів, щоб отримати клас дратівливих професорів. Така операція називається логічним множенням, та її результат називається логічним твором двох класів. Якщо а і Ь є класами, їх твір може бути позначено як «а х b» чи просто як «аЬ».

На цьому етапі стає зрозуміло, звідки береться ідея нуль-класу. Ми вважаємо, що, примножуючи класи, ми отримуємо класи. Логічним твором класів жінок та водіїв електровозів є клас жінок, які є водіями електровозів. Отже, цей клас буде класом, навіть якщо в ньому не буде жодного члена.