5. Рівняння та нерівності, що містять знак модуля.

1\Найпоширеніший, а іноді і єдино можливий метод розв'язання рівнянь з модулем - розкриття модуля згідно з визначенням:

Розв'яжіть рівняння x – 5 – 2x + 8 = –12.

Рішення

Вирази, що стоять під знаком абсолютної величини, перетворюються на нуль при x = –4 і x = 5. Отже, потрібно розглянути 3 випадки:

Отримаємо три рівняння, у кожному з яких невідоме накладено обмеження. На малюнку схематично показано, який знак матимуть підмодульні вирази кожному з трьох проміжків.

1

x ≤ -4. В цьому випадку 2x + 8

x = –25 задовольняє обмеження x ≤ –4.

-4 5. Цей корінь не задовольняє потрібним обмеженням.

2/Цей метод зручно застосовувати, коли підмодульні вирази досить прості (лінійні), і можна відразу зрозуміти, де вони перетворюються на нуль. Розглянемо найпростіше рівняння із модулем виду

де функція f(x) простіше функції g(x). Це рівняння рівносильне наступній системі рівнянь:

Переконатись у справедливості цього твердження можна, перебравши всі можливі варіанти.

Якщо під модулем стоїть функція, знайти коріння якої важко, то умову рівносильності можна переписати так:

Розв'яжіть рівняння 2x 2 + 2x – 5 = x – 1.

Рішення

Цьому рівнянню відповідають два рівняння 2(x 2 + 2x – 5) = x – 1 та 2(x 2 + 2x – 5) = 1 – x, серед коренів яких потрібно відібрати такі, що задовольняють умові x ≥ 1. Маємо:

1. Коріння цього рівняння і x = -3, з яких підходить перший корінь.

2. Коріння цього рівняння Знову підходить лише перший корінь, оскільки другий свідомо негативний.

Відповідь.

У випадку вкладених знаків модуля застосуємо цей метод кілька разів. Тут теж можна розглянути весь набір виходять прирозкриття модуля рівнянь серед розв'язків яких містяться розв'язки вихідного рівняння, а потім відібрати з усіх одержаних рішень придатні хоча б за допомогою перевірки.

---