5.4. Річна рента при нарахуванні відсотків m разів на рік
І тут рентні платежі вносяться 1 раз на рік. Нарахування відсотків буде здійснюватися за ставкоюj/m, деj- номінальна (річна) ставка складних відсотків. Розмір нарощеної суми вийде з формули (16) , якщо у ній покласти
В результаті отримаємо:
Приклад.Страхова компанія, яка уклала договір з фірмою на 3 роки, щорічні страхові внески у розмірі 500 тис. руб. поміщає до банку під 15% річних з нарахуванням відсотків за півріччя. Визначте суму, одержану страховою компанією за цим контрактом.
Рішення. Вважаючи у формулі (20)m= 2; n= 3;R= 500;j =0,15 отримаємо:
S= 500
Рентні платежі вносятьсяPщорічно рівними сумами, а нарахування відсотків провадиться один раз наприкінці року (m= 1). У цьому випадку член ренти дорівнюватимеR/P, а формула для нарощеної суми виходить з формули ( 16), в якій ставка за періодiPзнаходиться з умови фінансової еквівалентності (всього періодівP·n):
Підставляючи отриману ставку за періодiP(16), маємо:
Приклад.Страхова компанія приймає встановлений річний страховий внесок 500 тис. руб. двічі на рік протягом трьох років. Банк, який обслуговує страхову компанію, нараховує їй складні відсотки з розрахунку 15% річних один раз на рік. Визначте суму, отриману компанією після закінчення терміну договору.
Рішення.ТутR= 500; n= 3;P= 2;m= 1. За формулою (21) знаходимо:
S=
5.6. Вічна рента
Під вічною рентою розуміється рента з нескінченним числом платежів. Очевидно, що нарощена сума такої ренти нескінченна, але сучасна величина такої ренти дорівнюєA=R/i.Для доказу цього факту використовуємо формулу (17) для кінцевої ренти:
Переходячи в цій формулі до межі приn , отримаємо, щоA=R/i.
Приклад:Фірма орендує будинок за $5 000 на рік. Якою є викупна ціна будівлі при річній ставці відсотка 10 %?
Рішення.Викупна ціна будівлі є сучасна величина всіх майбутніх орендних платежів і дорівнює A =R/i= 50 000 дол.
5.7. Об'єднання та заміна рент
Загальне правило об'єднання рент: знаходяться сучасні величини рент (доданків) і складаються, а потім підбирається рента - сума з такою сучасною величиною та потрібними іншими параметрами.
Приклад.Знайдіть об'єднання двох рент: перша тривалістю 5 років з річним платежем 1000, друга - 8 та 800. Річна ставка відсотка
Рішення.Сучасні величини рент дорівнюють:
A1 =R1 ×a(5; 0,08) = 1000 3,993 = 3993;A2 =R×a(8; 0,08) = = 800 5,747 = 4598.
А=А1 +А2 = 3993 + 4598 = 8591.
Отже, у об'єднаної ренти сучасна величинаА= 8591. Далі можна задати тривалість об'єднаної ренти, або річний платіж, потім другий з цих параметрів визначимо з формул для рент.
На депозитний рахунок з нарахуванням складних відсотків за ставкою 80% річних щорічно протягом 5 років вноситимуться суми по 500 тис. руб. на початку кожного року. Визначте накопичену суму.
надепозитний рахунок наприкінці кожного кварталу вноситимуться суми по 12,5 тис. руб., на які також щоквартально нараховуватимуться складні відсотки за номінальною річною ставкою 10% річних. Визначте накопичену за 20 років суму. Відповідь: 3104783 руб.
Обчисліть суму, яку потрібно покласти з цього приводу приватного пенсійного фонду, що він зміг виплачувати своїм учасникам щомісяця 10 млн. крб. Фонд може інвестувати свої кошти за постійною ставкою 5% на місяць.
(Вказівка: використовувати модель вічної ренти).
5.4.Бізнесмен орендував котедж за $10 000 на рік. Яка викупна ціна котеджу при річній ставці 5%. Відповідь: $200 000.
5.5.У ході судового засідання з'ясувалося, що пан А недоплачував податків 100 руб. щомісяця. Податкова інспекція хоче стягнути недоплачені за останні два роки податки разом із відсотками (3% щомісяця). Яку суму має сплатити пан А.
5.6.Для меліоративних робіт держава перераховує фермеру $1000 на рік. Гроші надходять на спеціальний рахунок і на них нараховують кожні півроку 5% за схемою складних відсотків. Скільки накопичиться на рахунку за 5 років.
5.7.Замініть річну п'ятирічну ренту з річним платежем $1000 на ренту з піврічним платежем $600. Річна ставка 5%.
5.8.Замініть річну десятирічну ренту з річним платежем $700 шестирічною річною рентою. Річна ставка 8%.
5.9.Яку суму необхідно покласти до банку батькам студента, який навчається у платному інституті, щоб раз на півроку протягом 4 років банк перераховував до інституту $420. Банківська ставка 8% на рік.