7. Статистичні критерії виявлення сигналів у шумах

У ряді завдань прийому сигналів у присутності шумів не можна обмежитись таким загальним критерієм, як відношення сигнал/шум. Виникає необхідність використовувати тонші статистичні властивості процесів, які дають можливість кількісно оцінити достовірність даних. (наприклад, про координати об'єкта за сигналами РНС або координати мети за даними радіолокатора). Внаслідок випадкового характеру перешкод принципово неможливо домогтися повного їх усунення. Використання розглянутих вище «оптимальних» фільтрів змінює характеристики випадкового процесу, але залишається випадковим. Шляхом вдосконалення приймальних пристроїв можна знизити ймовірність помилки лише до певного рівня. [13].

У цьому посібнику обмежимося викладом класичного завдання виявлення сигналу. Нехай на виході приймального пристрою є сигнал - випадковий процес:

Цей процес може представляти або лише шуми - z(t). або суму детермінованого сигналу V(t) та шуму. Вважатимемо, що факт наявності сигналу V(t) теж випадковий.

Для вирішення питання наявності сигналу в даний момент можна прийняти правило: сигнал присутній, якщо U (t) > E, тобто. перевищує певний рівень, поріг і сигнал відсутній у протилежному випадку. U(t)

Помилкова відповідь може бути дана у двох несумісних між собою випадках: 1) коли сигнал відсутній, V(t) = 0, але напруга шуму перевищує рівень Е. (подія А = «хибна тривога».- Л.Т.) 2) Коли сигнал присутній, V(t) 0, але сума сигналу і шуму вбирається у рівня U(t) Б, «пропуск сигналу»).

Імовірність помилкової тривоги (подія А), тобто того, що будуть поєднані дві події - відсутність сигналу та перевищення шумомрівня Е ( за відсутності сигналу) , дорівнює апріорної ймовірності відсутності сигналу, помноженої апостеріорну ймовірність перевищення рівня Е, за умови, що сигнал відсутній. Апріорною ймовірністюq відсутності сигналу поставимо, а апостеріорну ймовірність перевищення шумом рівня Е легко отримати за одновимірною функцією розподілу шуму W(x).

Імовірність того, що будуть поєднані дві події - присутність сигналу і неперевищення сумарною напругою рівня Е (ймовірність події Б) дорівнює апріорній ймовірності присутності сигналу, помноженої на апостеріорну ймовірність неперевищення рівня Е за умови, що сигнал є присутнім. Апріорна ймовірність присутності сигналу дорівнює:

Апостеріорну ймовірність неперевищення рівня Е можна отримати, використовуючи одновимірну функцію розподілу суми сигналу та шуму - .

Оскільки події А і Б несумісні, то ймовірність помилкової відповіді Р(А чи Б) дорівнює:

Отже, шукана ймовірність правильної відповіді дорівнює:

Виникає питання: як вибрати граничний рівень Е? Зрозуміло, якщо рівень вибрати високим , то ймовірність Р(А) — помилкової тривоги буде мала, але ймовірність пропуску наявного сигналу буде велика. Навпаки, при низькому рівні Е мала буде ймовірність пропуску сигналу, але буде значною ймовірність хибної тривоги Р(А). Ці якісні міркування можна надати кількісні співвідношення, що залежать від конкретного завдання.

Може бути поставлена задача знаходження оптимальної величини порога Е, для якого ймовірність правильної відповіді (7.5) при заданих функціях розподілу сигналу і максимальна шуму. Обчислюючи похідну вирази (7.5) по Е та прирівнюючи її нулю, отримуємо рівняння для визначення оптимального рівня:

Статистичний критерій(7.6), що забезпечує максимальну ймовірність правильної відповіді при одному або кількох вимірах, називається критерієм «ідеального спостерігача ».

Як випливає з рівняння (7.6), рівень визначається від виду функцій розподілу.

Розглянемо рішення цього рівняння з прикладу виявлення позитивної телеграфної посилки (позитивного імпульсу з амплітудою V) і натомість шуму, підпорядковується нормальному закону розподілу, з дисперсією . Наявність або відсутність сигналу позначиться лише середньому значенні сумарного сигналу (7.1).

Відповідно щільності розподілу матимуть вигляд:

Сенс вибору порога (див. рівняння 7.6) ілюструється рис.3.7.

Оптимальний рівень визначається точкою перетину графіка (1) - розподілу шуму з графіком (2) - спільного розподілу сигналу і шуму (з урахуванням масштабних коефіцієнтів q, p). Як видно з рисунку 3.7, при сильному сигналі рівень Е повинен вибиратися високим, а при слабкому цей рівень наближається до середньоквадратичної напруги шуму.

У разі коли апріорна ймовірність появи сигналу невідома, часто вважають р=1/2, вважаючи, що апріорно рівноймовірно, як наявність, так і відсутність сигналу. (зауважимо, що у своїй q=1/2 теж). Тоді для розподілів (7.7) величина порога виявляється рівною Е = V/2. (Див. Рис 3.6).

Якщо рівень Е обраний, то для прикладу, де густина розподілу ймовірностей шуму і сигналу з шумом визначені виразами (7.7), для ймовірностей помилкової тривоги і пропуску сигналу, використовуючи (7.2) і (7.3), виходять вирази:

Насправді зазвичай цікавляться не ймовірністю пропуску сигналу, а вірогідністю правильного виявлення D (за умови, що перевищено рівень Е):

Наведемоінший приклад. Сигнал, що підлягає визначенню, є огинаючою сумарного високочастотного коливання, яке викликане як впливом шуму, так і корисного високочастотного сигналу (радіоімпульсу).

При вплив одного шуму щільність розподілу огинаючої r високочастотного коливання описується функцією Релея:

- Дисперсія шуму.

При сумісному впливі шуму і високочастотного сигналу огинаюча

має щільність розподілу, що підпорядковується закону Релея - Райса:

і при r модифікована функція Бесселя.

Графіки функцій (7.10) та (7.11) наведено на рис. 38.

Якщо цьому прикладі знову прийняти p=q, то оптимальний рівень знову визначиться точкою перетину кривої розподілу шуму з кривою спільного розподілу сигналу і шуму. З малюнка видно: при сильному сигналі рівень Е повинен вибиратися високим, а при слабкому сигналі цей рівень наближається до середньоквадратичної напруги шуму. При p q масштаби графіків функцій (7.10) і (7.11) відповідно зміняться, але оптимальний рівень як і раніше визначатиметься рівнянням (7.6). тобто точкою перетину відповідних графіків.

Розглянутий критерій ідеального спостерігача, коли як хибне виявлення, і пропуск сигналу небажані однаковою мірою, найбільш уражає систем радіозв'язку.

У системах радіолокації виявлення використовується інший критерій, званий критерієм Неймана-Пірсона. Використання іншого критерію пояснюється тим, що помилкове виявлення мети може мати небажані наслідки. Тому ймовірність помилкової тривоги має бути дуже малою, зазвичай задаються її значенням порядку. Часто її значення не може бути збільшено навіть з огляду на те, що при цьому знижується ймовірністьВиявлення сигналу. Отже, за умови використання критерію Неймана-Пірсона ймовірність помилкової тривоги фіксується спочатку. Так як ймовірність помилкової тривоги функціонально пов'язана з відносним порогом, останній також виявляється заданим

Практично намагаються задовольнити одночасно двом суперечливим вимогам: 1) щоб ймовірність Р(Б) пропуску сигналу не перевищувала деякої величини [Р(Б)

Лівий графік зображує функцію, а правий -.

Вертикальна лінія, відновлена з точки відповідного значення відносного порога (E/ s ), спільно з графіками обмежує площі, що відповідають ймовірностям Р(А) і Р(Б). Вони відзначені різною штрихуванням. Так зі збільшенням відношення сигнал /шум (а/ s ) графік функції зміщуватиметься вправо(дивися рис.38). Тому збереження допустимої величини Р(Б) -ймовірності пропуску сигналу, виявиться можливим збільшити відносний поріг E/ s . При цьому площа Р(А) — ймовірність хибної тривоги зменшиться! Правильне і зворотне.

Тому єдиною можливістю збільшення ймовірності правильного виявлення мети залишається підвищення відношення сигнал/шум на вході порогового пристрою, тобто на виході лінійного тракту приймального пристрою. Ці питання було розглянуто у попередніх розділах. Методики розрахунку конкретних радіотехнічних пристроїв та кількісних оцінок ймовірнісних характеристик прийому реальних сигналів, що флуктують, у присутності шуму досить складні і викладені в спеціальній літературі.