§ 73. Розгорнення пірамідальних та конічних поверхонь
При розгортанні поверхні на площині кожної точки поверхні відповідає єдина точка на розгортці: лінія поверхні переходить у лінію розгортки; довжини ліній, величини плоских кутів та площ, обмежених замкнутими лініями, залишаються незмірними. Таким чином, процес побудови розгортки зводиться до пошуку натуральної (справжньої) величини кожного елемента поверхні та зображення їх на площині. [an error occurred while processing this directive]
Кожна бічна грань на розгортці будується як трикутник з трьох сторін.CS- найкоротше бічне ребро, тому раціональніше подумки розрізати піраміду по цьому ребру.
Для нанесення на розгортку точокD, ЕіF, відповідних вершин перерізу піраміди площиною Sum, потрібно визначити справжні відстані цих точок від вершиниS. Після побудови розгортки бічної грані поверхні усіченої частини піраміди потрібно прилаштувати до неї трикутникиАВСіDEF, що дають справжню величину основи та перерізу піраміди.
На рис. 149 способом тріангуляції побудована розгортка конічної поверхні, замінена поверхнею вписаної в неї дванадцятикутної піраміди. Розгортка є симетричною фігурою, так як поверхня має площину симетрії Sum. У цій площині лежить найкоротша утворювальнаS-6. По ній і зроблено розріз поверхні. Найдовша утворювальнаS-0є віссю симетрії розгортки поверхні.
Мал. 149 Поверхня дванадцятикутної піраміди
Натуральні величини утворюючих визначено за допомогою прямокутних трикутників, як у попередній задачі на рис. 149. Від осі симетріїS-0будуємо шість в один бік і шість уіншу сторону трикутників, що примикають один до одного, із загальною вершиноюS. Кожен із трикутників будуємо по трьох сторонах, при цьому дві сторони дорівнюють істинним величинам утворюючих, а третя — хорді, що стягує дугу кола основи між сусідніми точками поділу. Побудовані на розгортці точки, 1, 2, . з'єднуються. Побудова розгортки значно полегшується, якщо поверхня представлена прямою пірамідою правильної форми або прямим круговим конусом. На рис. 150 наведена розгортка чотиригранної прямої піраміди. Побудова її спрощується тим, що утворює пірамідиASіCSпаралельні фронтальній площині проекцій і її спроектувалися в натуральну величину.
Мал. 150 Розгортка чотиригранної прямої піраміди
Основа ж піраміди ABCD лежить у площині, паралельній горизонтальній площині проекцій, і на неї проектується в натуральну величину. Для побудови розгортки достатньо побудувати бікASі зробити засічки радіусом дуги, рівнимBSіАВз точокSіА, відповідно отримаємо точкуВі т. д. Основу ж у натуральну величину можна побудувати на базі однієї з його сторін (на рис. 150 - на базі сторониАВ). Положення точки на поверхні розгортки піраміди визначимо в наступному порядку: через фронтальну проекцію точкиМ (М2)проведемо горизонтальну лінію до перетину з ребрамиA2S2іB2S2. Отримаємо точки 11 і 22. На лініїASрозгортки від точкиАвідкладемо відрізокhі з отриманої точки 1 проведемо лінію 1, 2 паралельноADна якій нанесемо точкуМу тому положенні, яке вона займає на горизонтальній проекції лінії 1, 2.
На рис. 151 наведено приклад побудови розгортки прямого круговогоконус. Для побудови її використовуємо те, що нарисова конусаlна фронтальній площині зобразилася в натуральну величину. Вибравши положення вершини розгортки - точкуS, радіусомLпроводимо дугу і відкладаємо на ній 12 рівних частин, на які попередньо розділили коло основи конуса, зображеного на горизонтальній площині проекції в натуральну величину. Чим більшу кількість рівних ділянок розділимо коло, тим точніше побудуємо розгортку.
Мал. 151 Приклад побудови розгортки прямого кругового конуса
Положення точкиМна розгортці поверхні конуса визначимо наступним чином: через фронтальну проекцію точки проведемо утворюючу і побудуємо її горизонтальну проекцію. Знайдемо, що утворююча перетнула основу конуса між точками 5 і 6. ТочкуКпереносимо на дугу розгортки, розташувавши її між точками 5 і 6, і з'єднаємо з вершиною конуса розгорткиS. З точкиM2проведемо горизонтальну лінію до перетину з нарисовою твірноюLі отримаємо точкуM2. Відстань від основи конуса до точкиM2за твірною є висотою точки, яку відкладаємо на розгортці від точкиКна лініїKS. Отримана точка визначить справжнє положення точкиMна розгортці. Таким чином, розгортку конічної поверхні побудуємо за допомогою сусідніх точок кола основи, в яку вписаний правильний дванадцятикутник, тобто конічна поверхня умовно замінена поверхнею, вписаною правильною дванадцятикутною пірамідою, а для побудови розгортки застосований спосіб тріангуляції.