АФІННА ЗВ’ЯЗНІСТЬ
Розстановка наголосів: АФІ'ННА ЗВ'ЯЗНІСТЬ
АФІННА ЗВ'ЯЗНІСТЬ - диференціально-геометрична структура на гладкому різноманітті М, спеціальний вид зв'язності на різноманітті, коли приклеєний до М гладкий розшарований простір Е має типовим шаром афінний простір An розмірності n = dim М. Структурою такого Е до кожної точки х простору (Аn)x, який ототожнюється з дотичним центроафінним простором Тx (М). А. с. передбачає таке зіставлення кожної гладкої кривої L ∈ М з початком х0 та кожній її точці xt афінного відображення (An)xt → (An)x0, що задовольняється нижче сформульованої умови. Нехай М покрито координатними областями, в кожній з яких фіксовано гладке поле афінного репера в (Аn)x, у якого початок збігається з х (тобто фіксовані n гладких векторних полів, лінійно незалежних в кожній точці х області) . Потрібно, щоб при t → 0, коли xt переміщається L до х0, відображення (An) xt → (An) x0 прагнуло тотожного відображення, причому головна частина його відхилення від останнього визначалося відносно деякого з реперів системою лінійних диференціальних форм
Отже, при (An)xt → (An)x0 репера в точці xt є система з точки в (An)x0 з радіус-вектором ei [ω i (X)t + ε i (t)] і n векторів ei [ δ i j + ω i j (X)t + ε i (t)], де X - дотичний вектор до L у точці х0, причому
Різноманітність М із заданою на ній А. с. зв. простором афінної зв'язності. При перетворенні репера поля в довільній точці x ∈ М згідно з формулами ei' = Ai' j ej, ej = Aj i' ei', тобто при переході до довільного елемента головного розшарованого простору Р реперів у дотичних просторах (An)x з початками у точці х, форми (1) замінюються наступними 1-формами на Р:
де Ω i' і Ωj' складені згідно (3) з форм (2). Рівняння (3) називаються структурними рівняннями і А. с. на М, де ліві частини - так зв. кручення форми Ω i і кривизни форми Ωj i - напівбазові, тобто є лінійними комбінаціями ω k ∧ ω l :
Будь-які 1-форми ω i і ωj i , задані на Р і задовольняють рівнянням (3) з лівими частинами виду (4), визначають нек-ру А. с. на М. Відображення (An)xt → (An)x0 для кривої L ∈ М виходить наступним чином: потрібно вибрати деяке гладке поле репера в координатній околиці початку х0 кривої L, і образ репера в точці xt визначити як рішення i (t )> системи
при початкових умовах u(0) = 0, ui (0) = еi, де х i = x i (t) - рівняння кривої L. Крива, що описується в (An)x0 крапкою з радіус-вектором x(t) щодо х0, зв. розгорткою кривої L. Поле репера в координатному околиці можна вибрати так, щоб ω i = dx i; тоді ω i j = Г i jk dx k. На перетині координатних околиць та
Тут S i jk і R i jkl становлять, відповідно, кручення тензор і кривизни тензор А. с. на М. А. с. на М може бути задана системою функцій Г i jk на кожному координатному околиці, що перетворюється на перетині околиць за формулою (5) - так зв. об'єктом А. с. Відображення (An)xt → (An)x0 виходить за допомогою системи (5), до якого слід підставити
Якщо в деяких околицях точки х0 дано векторне поле X = ξ i ei то при (An)xt → (An)x0 вектор Xx(t) відображається у вектор ξ i (xt)ei (t) (де i - рішення системи (5)), диференціал якого в (An)x0 при t = 0:
зв. коваріантним диференціалом поля X щодо даної А. с. Тут
утворюють тензорне поле, зв. підступної похідної поля X = ξ i ei . Якщо дано друге векторне поле Y = k k ek, то визначається коваріантнапохідна поля А у напрямку Y:
к-раю щодо довільного поля репера може бути визначена також формулою
А. с. на М може бути задана і як білінійний оператор ∇, який двом векторним ролям X, Y ставить у відповідність третє ∇Y Х і має властивості:
де f - гладка функція на М. Зв'язок із вищезазначеними способами завдання встановлюється формулою: ∇ek ej = Г i jk ei де i> - поле репера; поля тензорів кручення та кривизни
Векторне поле X зв. паралельним вздовж кривої L, якщо ∇ẋ (t) Xx(t) = 0 тотожно щодо t, тобто якщо вздовж L
Паралельними векторними полями здійснюється паралельне перенесення векторів (і взагалі тензорів) в А. с, що являє собою лінійне відображення дотичних векторних просторів Тxt (М) → Тx0 (М), що визначаються відображенням (An) xt → (An) x0 . У цьому вся сенсі кожна А. з. породжує нек-ру лінійну зв'язність на М.
Крива L зв. геодезичною лінією в цій А. с, якщо її розгортка є прямою лінією; іншими словами, якщо в відповідній параметризації її векторне дотичне поле x(t) паралельно вздовж неї. Щодо локальної координатної системи геодезич. лінії визначаються системою
Через кожну точку у кожному напрямі проходить одна геодезична.
Існує взаємно однозначна відповідність між А. с. на М і зв'язками в головних розшарованих просторах вільних афінних реперів (An)x, х ∈ М, ними породжуваними. Замкненим кривим з початком і кінцем в х відповідають афінні перетворення (An) x → (An) x, які утворюють неоднорідну голономії групу даної А. с. Відповідні лінійні автоморфізми Тx(М) → Тx(М) утворюють однорідну групу голономії. Відповідно до теореми про голономію алгебри цих груп визначаються 2-формами кручення Ω i ікривизни Ω i j. Для останніх мають місце тотожності Біанки:
к-рі, зокрема, для А. с. без кручення, коли Ω i = 0, зводяться до наступних:
Поняття А. с. виникло в 1917 р. у риманової геометрії (у вигляді Леві-Чівіта зв'язності); самостійний зміст воно набуло в 1918-24 в роботах Г. Вейля [1] та Е. Картана [2].
Літ. : [1] Weyl Н., Raum, Zeit, Materie, 5 Aufl., Ст, 1923; [2] Сartan E., «Аnn. scient. École norm. supér. », 1923, т. 40, p. 325-412; 1924, t. 41, p. 1-25; 1925, t. 42, p. 17-88; [3] Картан Е., Простори афінної, проективної та конформної зв'язності, пров. з франц., Казань, 1962; [4] Рашевський П. До., Риманова геометрія та тензорний аналіз, 3 видавництва, М., 1967; [5] Постніков М. М., Варіаційна теорія геодезичних, М., 1965.
- Математична енциклопедія. Т. 1 (А – Г). ред. колегія: І. М. Виноградов (глав ред) [та ін] - М., «Радянська Енциклопедія», 1977, 1152 стб. з ілл.