Аксіоматична теорія множин, Поняття та категорії
АКСІОМАТИЧНА ТЕОРІЯ МНОЖИН, формулювання множин теорії у вигляді формальної (аксіоматичної) системи (див. Аксіоматичний метод). Основним спонукальним стимулом для побудови аксіоматичної теорії множин стало відкриття в "наївній" теорії множин Г. Кантора, призначеної для обґрунтування класичної математики, парадоксів (антиномій), тобто протиріч. Всі ці парадокси (наприклад, парадокс Кантора, пов'язаний з розглядом "множини всіх множин", або парадокс Рассела, в якому розглядається "множина всіх множин, що не містять самих себе як елемент") зумовлені необмеженим застосуванням в теорії канторової множин т.з. принципу згортання (або абстракції), згідно з яким для будь-якої властивості існує безліч, що складається з усіх предметів, що володіють цією властивістю (цей принцип фактично міститься вже в першій фразі всіх традиційних викладів теорії множин: "ми будемо розглядати довільні множини елементів довільної природи" і т.д. п.).
У першій з відомих систем аксіоматичної теорії множин - системі Цермело-Френкеля, або ZF (сформульована в 1908 році Е. Цермело, поповнена в 1921-1922 роки і пізніше А. Френкелем), принцип згортання замінюється декількома його окремими випадками: (даних) множин х та. у, аксіомою існування об'єднання всіх елементів довільної множини x в нову множину S (x), аксіомою існування множини P(x) всіх частин довільної множини х, аксіомою існування нескінченної множини і т.з. схемами аксіом виділення (відповідно до якої для будь-якої безлічі х і властивості ф існує безліч елементів х, що володіють властивістю ф) і підстановки (що стверджує, що для будь-якого взаємнооднозначного відображення елементів множини x, що описується мовою системи ZF, існує безліч таких z, на які відображаються ці елементи x). Не підпадає під схему принципу згортання т. зв. аксіома вибору (про існування "множини представників", тобто множини, що містить в точності по одному елементу з кожного з даних непустих попарно непересічних множин). Як і в будь-якій іншій системі А. т. м., в ZF постулюється також аксіома об'ємності (екстенсіональності), згідно з якою безлічі, що складаються з одних і тих же елементів, збігаються. Іноді до ZF приєднують деякі інші аксіоми більш спеціального призначення. Формули ZF виходять з "елементарних формул" виду x е у ("x належить у") засобами обчислення предикатів.
Пізніше були побудовані численні видозміни ZF і систем, що відрізняються від ZF тим, що "погані" (приводять до парадоксів) сукупності елементів не зовсім виключаються з розгляду, а визнаються "власне класами", тобто множинами, що не можуть належати як елемент іншим множинам (ця ідея, що йде від Дж. Неймана, була потім розвинена швейц. математиком П. Бернайсом, К. Геделем та ін.). Системи ці, на відміну ZF, можуть бути задані за допомогою кінцевого числа аксіом.
Інший підхід до аксіоматичної теорії множин втілений у теорії типів Б. Рассела та А. Н. Уайтхеда (Англія, 1910-1913) та її різних модифікаціях, в яких на аксіому згортання не накладають типових для ZF та інших систем обмежень, але реформують саму мову теорії: замість одного алфавіту змінних x, y, z. вводиться нескінченна послідовність алфавітів x1 y1 z1. ; x2, у2, z2. ;. ; хn, уn, zn. ;. різних "типів" п, а елементарні формули мають вигляд xn € yn +1 або xn = уп. Теорії типів будуються на основіобчислення предикатів з різними видами змінних [а при природній заміні символіки хп € yп+1 на уn+1 (хп) та xn = уn на х„
у„ самі можуть розглядатися як системи розширеного числення предикатів, а не теорії множин]. У системі NF (New Foundation), введеної в 1937 році американським математиком У. В. О. Куайном, комбінуються обидва згадані підходи: мова NF - та ж, що в ZF, а аксіоми згортання повинні виходити з аксіом теорії типів видаленням індексів при змінних .
Для різних систем аксіоматичної теорії множин та окремих їх аксіом розглядалося питання про їхню (відносну) несуперечність. У 1940 році К. Гёдель довів відносну несуперечність аксіоми вибору та континуум-гіпотези (див. Континуума проблема) для описаної ним системи Z та ZF; надалі цей результат був перенесений на теорію типів (найслабшу з перерахованих систем), а потім і на NF (у відповідній формі). У 1963 році американський математик П. Дж. Коен довів для ZF (а тим самим і для Z) відносить несуперечність заперечення континуум-гіпотези, в т. ч. і у випадку, якщо до ZF приєднана аксіома вибору. Він довів, що, ZF можна приєднати без виникнення протиріччя аксіому у тому, що континуум може бути цілком упорядкований (з цієї аксіоми відразу слід заперечення аксіоми вибору).
Згаданих обмежень на принцип згортання (або на мову системи) достатньо, щоб в аксіоматичній теорії множин не виникало жодного з відомих парадоксів. Проте проблема абсолютної несуперечності, зважаючи на теорему Геделя про неповноту (див. Метатеорія), вимагає залучення істотно нових ідей. Зокрема, отриманий у 1960 році доказ несуперечності ZF (і теорії типів, але не NF) зажадав залучення коштів такзваного ультра-інтуїціонізму.
Ю. А. Гостєв, А. С. Єсенін-Вольпін.
Використані матеріали Великої радянської енциклопедії 30 т. гол. ред. А.М. Прохоров. Вид. 3-тє. Т. 1. А - Ангоб. - М., Радянська енциклопедія. - 1969. - 608 с.
Гедель К., Сумісність аксіоми вибору та узагальненої континуум-гіпотези з аксіомами теорії множин, пров. з англ., "Успіхи математичних наук", 1948, т. 3, ст. 1; Єсенін-Вольпін А. С., До обґрунтування теорії множин, в сб.: Застосування логіки в науці та техніці, [М., 1960], с. 22-118; Френкель А. А. і Бар-Хіллел І., Підстави теорії множин, пров. з англ., М., 1966 (бібл.); Коен П. Дж., Теорія множин та континуум-гіпотеза, пров. з англ., М., 1969; Quine W. О. Van. Set theory and its logic, Camb., 1963.