Аксіоматична Теорія Множин
АКСІОМАТИЧНА ТЕОРІЯ МНОЖИН напрям у математичній логіці, що займається вивченням аксіоматичним методом об'єктів теорії множин.
Під аксіоматичної теорією множин також розуміється будь-яка конкретна система, що формалізує теорію множин. Аксіоматична теорія множин виникла на початку 20 століття у Європі у зв'язку з парадоксами теорії множин, які показали, що наївна теорія множин призводить до протиріч. Усунення парадоксів виявилося можливим тільки на шляху аксіоматичного обмеження принципу, що полягає в тому, що будь-яка властивість визначає безліч всіх об'єктів, що мають цю властивість. Різні обмеження призводять до різних варіантів аксіоматичної теорії множин.
Перша і найвідоміша з аксіоматичних теорій множин - теорія Цермело-Френкеля, що визначає побудова множин крок за кроком, тобто на кожному кінцевому або трансфінітному кроці розглядаються ті безлічі, всі елементи яких вже побудовані на попередніх кроках. Поняття трансфінітного кроку також знаходить у цій теорії суворе визначення. Ця теорія формулюється в Є-мові, тобто в мові з єдиним вихідним невизначеним символом Є приналежності: хЕХ розуміється як «х є елементом множини Х». Безліч Y називається підмножиною множини Х, якщо кожен елемент множини Υ належить і множині Х (позначається YЄХ).
Ключовими теорією Цермело-Френкеля (теорії ZF) є такі аксіоми.
1) Аксіома екстенсіональності (об'ємності), яка стверджує, що будь-які дві множини, що містять одні й ті самі елементи, рівні один одному.
2) Аксіома виділення, яка стверджує, що сукупність всіх елементів даної множини, що задовольняють певній властивості, є безліччю.
3) Аксіома нескінченності,що стверджує існування нескінченної множини певного виду, саме, непустої множини Х такої, що хЕХ=>ЄХ, де - безліч, єдиним елементом якого є х.
4) Аксіома ступеня, яка стверджує, що сукупність Р(Х) всіх підмножин даної множини є безліччю.
5) Аксіома підстановки, яка стверджує, що якщо для кожного елемента х даної множини Х якимось чином задано безліч f(х), то сукупність усіх так певних множин f(х) є безліччю.
6) Аксіома регулярності, яка стверджує, що кожна непуста множина Х містить Є-мінімальний елемент х, тобто х не містить елементів множини Х.
До цієї системи може приєднуватися аксіома вибору АС, яка стверджує, що для будь-якої множини Х, що складається з непустих попарно не мають загальних елементів множин х, існує безліч Υ, що має рівно один загальний елемент з кожним хЕХ. Розширена в такий спосіб система позначається ZFC.
Аксіоми 1-4 та аксіома вибору були введені Е. Цермело у 1908 році; разом із деякими аксіомами технічного характеру вони утворюють аксіоматичну теорію множин Цермело Z чи ZC (відповідно, у відсутності чи присутності аксіоми вибору). Аксіома 5 була введена А. Френкелем та норвезьким математиком Т. Сколемом у 1922 році, аксіома 6 – Дж. фон Нейманом у 1923.
До теорій Z і ZF примикають теорія типів, що відповідає першим ? + ? разом із множинами дозволяється розглядати і класи, тобто сукупності множин, які самі не є множинами (наприклад, клас усіх множин);формально класи від множин тим, що вони є елементами інших класів (і множин). На зовсім іншій ідеї побудована аксіоматична теорія множин Куайна NF, в якій потрібно, щоб усі змінні формули, що виражає властивість, що розглядається, могли бути індексовані так, що індекс у був рівно на одиницю більше індексу х кожного разу, коли вираз хЕу зустрічається в цій формулі.
Розвиток аксіоматичної теорії множин показало, що об'єкти змістовної математики можуть розглядатися як множини, відповідно кожне твердження змістовної математики може бути сформульовано як твердження про множини, і, нарешті, кожен математично коректний доказ може бути формалізовано як доказ у теорії ZFC теорія ZC). У цьому вся сенсі аксіоматична теорія множин ZFC є аксіоматичним базисом сучасної математики.
Аксіоматична теорія множин дозволила довести формальну нерозв'язність, тобто неможливість отримати відповідь «так» чи «ні» на поставлене питання, для таких проблем, як проблема континууму, проблема вимірності та ряд інших проблем у дескриптивній теорії множин.
Літ.: Гедель К. Сумісність аксіоми вибору та узагальненої континуум-гіпотези з аксіомами теорії множин // Успіхи математичних наук. 1948. Т. 3. Вип. 1; Новіков П. С. Про несуперечність деяких положень дескриптивної теорії множин // Праці математичного інституту Академії Наук СРСР. 1951. Т. 38; Quine W. О. van. Set theory and its logic. Camb., 1963; Френкель А. А., БарХіллел І. Підстави теорії множин. М., 1966; Коен П. Дж. Теорія множин та континуум-гіпотеза. М., 1969; Довідкова книга з математичної логіки. М., 1982. Ч. 2: Теорія множин.