Алгебра, handmath

Аматорська математика - своїми руками

Завдання для першокурсників

Коротка передмова

Вчора Саша Т загадав мені загадку, яку, як він сказав, один його першокурсник вирішив у чотири дні. Не знаю, соромитися чи ні, що така шалена шалена, як я, вирішила її не миттєво, але так чи інакше сьогодні вранці рішення було знайдено.

Знайти. (При загадуванні можна хитро підморгнути і зробити двозначне зауваження, що, мовляв, це функція «не математична, а як у програмуванні».)

Першою на думку спадає геніальна думка, що, але на жаль, функція за умовою повинна цілі числа відображати в цілі.

Друга геніальна думка полягає в тому, щоб щось зробити таке-таке, як у старі добрі часи, а саме взяти функцію від обох частин визначального рівняння:

що символізує собою, що функція непарна, а зокрема . Цілком собі математична, отже:)

Третя геніальна думка, що виникла після болісної спокуси пуститися на доказ того, що такої функції не існує, полягала в тому, щоб переписати визначальне рівняння таким чином:

і вигукнути «Еврика! Так це ж функція така, що для неї є зворотною!

Далі треба думати про графік цієї функції. Графік з графіка виходить відбитком від осі абсцис, а графік (яка відповідно до переписаного визначального рівняння цілком собі існує) виходить з графіка відображенням від бісектриси першого квадранта. Наша функція чудова тим, що обидва ці відображення дають те саме: , де — графік , а — наші відображення. Звідси, оскільки є тотожне відображення, тографік інваріантний щодо композиції двох зазначених вище відбитків.Композиція двох відбиття щодо прямих є поворот на кут, рівний подвоєному куті між осями симетрії, навколо точки перетину осей. У нашому випадку це просто поворот на прямий кут навколо початку координат.

Отже, графік шуканої функції інваріантний щодо поворотів на прямий кут навколо початку координат (нескладно збагнути, що по або проти годинникової стрілки здійснювати повороти значення не має). Далі довелося судомно згадувати, як у координатах записуються ці повороти:) Крапка переходить у .

Отже, на графіку функції разом із точкою обов'язково знайдуться точки , , . Далі довелося навіть взяти листок картатого паперу і почати тикати на ньому крапки, примовляючи щось на кшталт: «Так, тоді візьмемо, тоді має бути, а в лівій півплощині продовжимо по непарності.» Після натискання крапок картинка вималювалася і було записано рішення:

Позначимо, тоді й аналогічно. Виділяємо нескінченне власне підмножина і визначаємо довільну бієкцію (вона має існувати, оскільки всі нескінченні підмножини натурального ряду рівносильні). Визначаємо потрібну функцію як

Причому очевидно з усіх попередніх міркувань, що всі функції, що шукаються, повинні мати саме такий вигляд.

Короткий післямову

Виявилося, що функція виходить дуже математична, а ніяка не програмістська, а процес її вгадування мобілізував багато областей мого мозку, що стрімко засихає, за що я вкрай вдячний всій команді PAYcast'а.

Дистрибутивні грати

Визначення

Решітка називається дистрибутивною, якщо виконано один із наступних законів:

Еквівалентність двох законів дистрибутивності

Нехай вірно, що , тоді додамо з обох боків :

Тут ми скористалися одниміз законів поглинання. Тепер підставимо у вихідний закон дистрибутивності замість:

Порівнюючи останні рядки у цих двох викладках (у другій ми скористалися іншим законом поглинання), дійшли висновку, що

Аналогічно (змінюючи на та навпаки) виходить доказ того, що з отриманого закону дистрибутивності можна вивести вихідний, використовуючи закони поглинання, асоціативності та комутативності операцій.

Приклади дистрибутивних ґрат

Найпростіший приклад - це різні грати всіх підмножин деякої множини, зокрема подвійні один одному грати відкритих і замкнутих множин довільного топологічного простору (ізоморфізм двоїстості - взяття доповнення до всього простору).

Приклад недистрибутивних ґрат

Розглянемо наступну діаграму Хассе:

Очевидно, що ця діаграма ставить грати і що , а . Насправді більшість по-справжньому цікавих ґрат не є дистрибутивними.

Нерівність дистрибутивності

Закон дистрибутивності у формі рівності виконаний, взагалі кажучи, далеко не у всіх ґратах. Однак, можна помітити, що в довільних ґратах, а значить. Також, отже. Це означає, що у довільній решітці виконано таку нерівність:

Ізоморфізм грат, підграти та ідеали

Визначення

Дві грати та ізоморфні, якщо існує така взаємно однозначна відповідність , при якому

Підмножина ґрат називається підрешіткою, якщо воно замкнуте щодо операцій і .

Підмножина ґрат називається нижнім сегментом, якщо воно задовольняє властивості

Непорожній нижній сегмент ґрат називається ідеалом, якщо він замкнутий щодо операції .

Теорема про ізоморфізм

Незважаючи на те, що всі визначення абсолютно стандартні, ізоморфізми грат мають досить приємні властивості. Вважатимемо, що на ґратах задані звичайним способом відношення часткового порядку. Відображення двох частково впорядкованих множин називається монотонним, якщо воно зберігає порядок між елементами. Тепер саме формулювання:

Теорема. Бієкція між гратами і є ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли і є монотонними відображеннями.

Доказ.

Нехай бієкція - ізоморфізм. Тоді якщо , то, за визначенням відношення порядку, , отже, . Аналогічно отримуємо.
Нехай і монотонні відображення. Тоді і, отже, є нижньою межею. Припустимо, що ця нижня межа не точна, тобто існує деяке , тоді через монотонність , звідки і , тобто , а значить . Аналогічно доводиться, що , що завершує доказ того, що ізоморфізм.

Інше визначення нижнього сегмента

Дане вище визначення нижнього сегмента виглядає як визначення недоїдеалу і найменування нижній сегмент здається невиправданим. Насправді ж, якщо — нижній сегмент грати, а то, а значить. Тобто нижній сегмент разом з будь-яким своїм елементом містить усі елементи ґрат, менші за нього. Навпаки, якщо деяке підмножина грати містить разом із кожним своїм елементом будь-який менший його елемент, то візьмемо будь-які і розглянемо , тоді є нижнім сегментом решітки в нашому визначенні.

Решітка нижніх сегментів

Нижні сегменти можна виділяти у ґратах, а й у довільних частково упорядкованих множинах. Якщо взяти два нижні сегменти деякої частково впорядкованої множини, то якщо і, тоабо (тоді), або (тоді знову ж таки). Якщо ж, то, отже. З іншого боку, отже. Разом, . Виходить, що перетин та об'єднання двох нижніх сегментів є нижнім сегментом. З властивостей об'єднання та перетину укладаємо, що безліч усіх нижніх сегментів довільної частково впорядкованої множини утворює грати.

До речі, формально порожня множина також є нижнім сегментом. Безліч всіх непустих нижніх сегментів частково впорядкованої множини позначається і є гратами в тому випадку, якщо є найменший елемент (у цьому випадку будь-який непустий нижній сегмент буде містити найменший елемент, і перетин двох непустих нижніх сегментів буде також непустим).

Головні ідеали

Головним ідеалом ґрат, породженим елементом, називається безліч. Очевидно, що — це найнижчий сегмент. Справді, якщо, а, то, тобто. Також, якщо , то і , тобто . До того ж . Отже, головний ідеал у нашому визначенні — це справді ідеал. Більше того, можна визначити головний ідеал на манер алгебри. Будь - який елемент головного ідеалу має властивість , а отже . Це означає що .

Ґрати ідеалів

Якщо взяти два ідеали, то їхнє перетинання також, очевидно, буде ідеалом (доказ того, що він замкнутий щодо операцій приблизно такий самий нудний, як і для нижніх сегментів). Перетин двох ідеалів не порожній, оскільки , , а це означає, що .

В цілому досить очевидно, що безліч ідеалів, упорядковане за теоретико-множинним включенням є грати, хоча в загальному вигляді друга операція (не перетин) і виглядає як щось досить-таки епічне.

Підграти головних ідеалів

Для головних ідеалів операції у ґратах усіх ідеалів можутьбути виражені дуже простим способом через операції над елементами, що породжують.

Розглянемо два основних ідеалу та й якийсь елемент, що належить їхньому перетину. Тоді з одного боку, а з іншого, тоді. Назад, якщо , то , тобто і аналогічно . Це доводить, що .

Тепер розглянемо певний елемент, що належить. Нехай тоді, а значить і. Аналогічно, якщо , то . Це означає, що ідеал є верхня межа (відносно вкладення множин) пари . Доведемо, що цей кордон точний. Нехай і ідеал. Тоді, зокрема. Однак якщо, то звідки негайно, і. Тобто ідеал є точна верхня грань пари.

Отже, головні ідеали утворюють підграти у ґратах усіх ідеалів. І більше того, що найцікавіше, ґрати основних ідеалів ізоморфні вихідних ґрат ( ).

Ґрати. Визначення та приклади

Два визначення ґрат

З одного боку, грати - це алгебраїчна система "title="\left" class="latex" /> з двома операціями, що задовольняють наступним властивостям:

(комутативність операцій)
(Асоціативність операцій)
(Закони поглинання)

З іншого боку, грати - це частково впорядковане безліч "," в якому для будь-якої пари елементів визначені її точні верхня і нижня грані (і ).

Еквівалентність визначень

Легко бачити, що й решітка задана через операції, то ній можна запровадити відношення порядку , яке задовольняти властивості з іншого визначення. Аналогічно, якщо решітка задана у вигляді частково впорядкованої множини, то операції на ній можна ввести як . Якщо, діючи за цими рецептами, спочатку з операцій отримати відношення, а потім із отриманого відношення знову отриматиоперації, то прийдемо до вихідних операцій (аналогічно, якщо починати з відношення).

Безпосереднє проходження. Діаграми Хассе

На будь-якій решітці як на частково впорядкованій множині можна визначити інше відношення, званої ставленням безпосереднього слідування (читається як слід безпосередньо за). Це ставлення буде рефлексивним і антисиметричним, але не буде транзитивним, а отже, не буде ставленням порядку чи навіть передпорядку. Діаграма Хассе - це граф відносини безпосереднього прямування, яким легко (шляхом транзитивного замикання), відновлює вихідні відносини порядку на ґратах.

Подвійні грати

У першому визначенні ґрат легко помітити, що якщо переставити місцями дві операції, то аксіоми, як і раніше, будуть виконуватися. Решітка, отримана шляхом заміни на і навпаки, називається двоїстою до даної. Діаграма Хассе двоїстої грати виходить зверненням напрямків стрілок.

Система підмножин довільної множини щодо операцій об'єднання та перетину (частковий порядок - за вкладенням);
безліч натуральних чисел щодо операцій знаходження найбільшого спільного дільника та найменшого загального кратного (частковий порядок - ділимість);
система підгруп довільної групи щодо операцій перетину та множення (частковий порядок за вкладенням);
система підмодулів довільного модуля щодо перетину та складання, зокрема, система ідеалів довільного асоціативного кільця або система підпросторів векторного простору (частковий порядок по вкладенню);
будь-яка лінійно впорядкована множина, зокрема, будь-яка підмножина безлічі дійсних чисел щодо операцій знаходженнямаксимуму та мінімуму з пари чисел;
безліч безперервних речовиннозначних функцій на компакті щодо операцій поточкового максимуму та мінімуму функцій (частковий порядок - поточечно).

Ідемопотентність

Якщо закон поглинання підставити , то застосувавши другий закон поглинання, отримаємо . Аналогічно встановлюється, що . Іноді ці властивості включають набір аксіом решітки.

Центр групи

Так як на теорему Гурвіца поки з величезної висоти впав болт, чому б не запостити щось простеньке.

Розглянемо групу. Тоді внутрішнім автоморфізмом називається таке перетворення групи на себе, що . Звідси легко бачити, що . Безліч всіх внутрішніх автоморфізмів групи всіх перетворень групи у собі, в такий спосіб, становить підгрупу. Ці перетворення справді є автоморфізмами, оскільки . Понад те, оскільки з доведеному вище , відображення , сопоставляющее елементу групи елемент групи (так позначається група внутрішніх автоморфізмів), є гомоморфізмом груп. Знайдемо.

Ядро відображення – це елементи, які переходять у тотожне перетворення групи. Якщо тоді, тобто елемент комутує з усіма елементами групи. Елементи, що комутують з усіма елементами певної групи, називають центром цієї групи. Ми тільки-но довели, що центр є ядром деякого гомоморфізму груп. Як відомо, ядро гомоморфізму групи є її нормальною підгрупою. З цього ж загального твердження про структуру гомоморфізму отримуємо, що . Це, зокрема, означає, що . Що стосується абелевих груп і група внутрішніх автоморфізмів тривіальна. У разі неабелевих груп ділить. З визначення центру групи також легко бачити, що центр завжди єобелевою групою.