Алгебра. Урок 3. Обчислення та алгебраїчні вирази
Зміст сторінки:
- Перетворення та обчислення
Властивості ступенів:
(1) a m ⋅ a n = a m + n
(2) a m a n = a m − n
(3) (a ⋅ b ) n = a n ⋅ b n
(4) (a b) n = a n b n
(5) ( a m ) n = a m ⋅ n
Властивості квадратного кореня:
(1) a b = a ⋅ b , при a ≥ 0 , b ≥ 0
18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2
(2) a b = a b при а ≥ 0 b & gt; 0
4 81 = 4 81 = 2 9
(3) (a) 2 = a , при a ≥ 0
(4) a 2 = a за будь-якого a
( − 3 ) 2 = − 3 = 3 , 4 2 = 4 = 4 .
Раціональні та ірраціональні числа
Раціональні числа – числа, які можна подати у вигляді звичайного дробу m n де m — ціле число ( ℤ = 0, ± 1, ± 2, ± 3 … ), n — натуральне ( ℕ = 1, 2, 3, 4 …).
Приклади раціональних чисел:
1 2; − 9 4 ; 0,3333 … = 13; 8; − 1236.
Ірраціональні числа – числа, які неможливо уявити у вигляді звичайного дробу m n , це нескінченні неперіодичні десяткові дроби.
Приклади ірраціональних чисел:
Простіше кажучи, ірраціональні числа – це числа, що містять у своєму записі знак квадратного кореня. Але не все так просто. Деякі раціональні числа маскуються під ірраціональні, наприклад, число 4 містить у своєму записі знак квадратного кореня, але ми чудово розуміємо, що можна спростити форму запису 4 = 2 . Це означає, що число 4 є раціональне число.
Аналогічно, число 481 = 481 = 29 є число раціональне.
У деяких завданнях потрібно визначити, які з чисел раціональні, а які ірраціональні. Завдання зводиться до того щоб зрозуміти, які числа ірраціональні, а які під них маскуються. Для цьогопотрібно вміти здійснювати операції винесення множника з-під знака квадратного кореня та внесення множника під знак кореня.
Внесення та винесення множника за знак квадратного кореня
За допомогою винесення множника за знак квадратного кореня можна спростити деякі математичні вирази.
Спростити вираз 2 8 2 .
1 спосіб (винесення множника з-під знака кореня): 2 8 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 4 ⋅ 2 2 = 2 ⋅ 2 = 4
2 спосіб (внесення множника під знак кореня): 2 8 2 = 2 2 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 4 ⋅ 8 2 = 16 = 4
Формули скороченого множення (ФСУ)
(1) (a + b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
( 3 x + 4 y ) 2 = ( 3 x ) 2 + 2 ⋅ 3 x ⋅ 4 y + ( 4 y ) 2 = 9 x 2 + 24 x y + 16 y 2
(2) (a − b ) 2 = a 2 − 2 a b + b 2
( 5 x − 2 y ) 2 = ( 5 x ) 2 − 2 ⋅ 5 x ⋅ 2 y + ( 2 y ) 2 = 25 x 2 − 20 x y + 4 y 2
Сума квадратів не розкладається на множники
(3) a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b )
25 x 2 − 4 y 2 = ( 5 x ) 2 − ( 2 y ) 2 = ( 5 x − 2 y ) ( 5 x + 2 y )
(4) (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
( x + 3 y ) 3 = ( x ) 3 + 3 ⋅ ( x ) 2 ⋅ ( 3 y ) + 3 ⋅ ( x ) ⋅ ( 3 y ) 2 + ( 3 y ) 3 = x 3 + 3 ⋅ x 2 ⋅ 3 y + 3 ⋅ x ⋅ 9 y 2 + 27 y 3 = x 3 + 9 x 2 y + 27 x y 2 + 27 y 3
(5) (a − b ) 3 = a 3 − 3 a 2 b + 3 a b 2 − b 3
( x 2 − 2 y ) 3 = ( x 2 ) 3 − 3 ⋅ ( x 2 ) 2 ⋅ ( 2 y ) + 3 ⋅ ( x 2 ) ⋅ ( 2 y ) 2 − ( 2 y ) 3 = x 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ x 2 ⋅ 2 ⋅ 2 y + 3 ⋅ x 2 ⋅ 4 y 2 − 8 y 3 = x 6 − 6 x 4 y + 12 x 2 y 2 − 8 y 3
(6) a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 − a b + b 2 )
8 + x 3 = 2 3 + x 3 = ( 2 + x ) ( 2 2 − 2 ⋅ x + x 2 ) = ( x + 2 ) ( 4 − 2 x + x 2 )
(7) a 3 − b 3 = ( a − b ) ( a 2 + a b + b 2 )
x 6 − 27 y 3 = ( x 2 ) 3 − ( 3 y ) 3 = ( x 2 − 3 y ) ( ( x2 ) 2 + ( x 2 ) ( 3 y ) + ( 3 y ) 2 ) = ( x 2 − 3 y ) ( x 4 + 3 x 2 y + 9 y 2 )
Стандартний вид числа
Для того, щоб зрозуміти, як приводити довільне раціональне число до стандартного виду, треба знати, що таке перша цифра числа.
Першою цифрою числа називають його першу зліва відмінну від нуля цифру.
Приклади: 2 5; 3, 05; 0, 1 43; 0 , 00 1 2 . Червоним кольором виділено першу значну цифру.
Для того щоб привести число до стандартного вигляду, треба:
- Зрушити кому так, щоб вона була відразу за першою цифрою.
- Отримане число помножити на 10 n де n - число, яке визначається наступним чином:
- n > 0 якщо кома зрушувалася вліво (множення на 10 n, вказує, що насправді кома повинна стояти правіше);
- n 0 якщо кома зрушувалася вправо (множення на 10 n, вказує, що насправді кома повинна стояти лівіше);
- абсолютна величина числа n дорівнює кількості розрядів, на яку була зрушена кома.
25 = 2 , 5 ← , = 2,5 ⋅ 10 1
Кома зрушила вліво на 1 розряд. Так як зсув коми здійснюється вліво, ступінь позитивна.
Вже приведено до стандартного вигляду, робити нічого не потрібно. Можна записати, як 3,05 ⋅ 10 0 але оскільки 10 0 = 1 , залишаємо число в початковому вигляді.
0,143 = 0, 1 → , 43 = 1,43 ⋅ 10 − 1
Кома зрушила праворуч на 1 розряд. Так як зсув коми здійснюється вправо, ступінь негативний.
− 0,0012 = − 0, 0 → 0 → 1 → , 2 = − 1,2 ⋅ 10 − 3
Кома зрушила праворуч на три розряди. Так як зсув коми здійснюється вправо, ступінь негативний.