Algebraexam - Стор 2
Якщо в лінійному просторі визначено скалярне твір, такий простір називаєтьсяевклидовым простором.
2 варіант.Для визначення евклідового простору найпростіше взяти як основне поняття скалярного твору. Евклідово векторний простір визначається як кінцевий векторний простір над полем дійсних чисел, на векторах якого задана речовиннозначна функція, яка має наступні три властивості:
Білінійність: для будь-яких векторів і для будь-яких дійсних чисел та
Симетричність: для будь-яких векторів
Позитивна визначеність: для будь-якого причому
Існування ортогонального базису з власних
векторів симетричного оператора
Лінійний оператор
Перелічимо основні властивості симетричного лінійного оператора: 1. Лінійний оператор є симетричним і тоді, коли його матриця у кожному базисі симетрична. 2. Власні вектори симетричного лінійного оператора, що відповідають різним власним значенням, ортогональні. 3.Всякому своєму числу кратності k симетричного оператора відповідає лінійно незалежна система з k власних векторів. 4.Для будь-якого симетричного лінійного оператора існує базис у просторі
Норма оператора. Норма симетричного оператора.
Нормаоператора- число, яке визначається, як:
,
де - Оператор, що діє з нормованого простору в нормований простір.
Це визначення еквівалентне наступному:
Властивості операторних норм:
,причому тільки при;
, де;
;
.
У звичайному випадку оператору в деякому базисі відповідає матриця - матриця оператора. Якщо норма на просторі (просторах), де діє оператор, допускає один із стандартних виразів у базисі, то властивості норми оператора повторюють аналогічні властивості норми матриці.
Приведення квадратичної форми ортогональним
перетворенням до головних осей
Розглянемо квадратичну форму. МатрицяAє симетричною. Лінійне перетворення, задане матрицеюA, є самосполученим і для цього перетворення існує ортонормований базис із власних векторів. Інакше кажучи, знайдеться ортогональна матрицяT(), що , де - власні числаA. Оскільки , то квадратична форма ортогональною заміною перетворюється на форму. Приведення квадратичної форми до канонічного вигляду ортогональним перетворенням називається приведенням до головних осей.
Приведення пари форм до діагонального виду
Найпростіший вид матриця лінійного оператора має, коли базисом є її власних векторів, тобто. всі її власних значень різні. І тут , при і , тобто. матриця є діагональною:
.
Отже, для того щоб привести матрицю оператора до діагонального вигляду згідно з формулою, як матриця потрібно взяти матрицю, стовпцями якої повинні бути власні вектори оператора.
Число обумовленості матриці. Зв'язок із наближеним
вирішенням систем лінійних рівнянь
Число обумовленості матриці показує, наскільки матриця близька до матриці неповного рангу (для квадратних матриць - до виродженості).
Розглянемо систему лінійних рівнянь
Якщо матрицяAвироджена, то для деякихbрішенняxне існує, а для іншихbвоно буде не єдиним. Отже, якщоAмайже вироджена, можна очікувати, що малі зміни вAіbвикличуть дуже великі зміни вx. Якщо взяти якAодиничну матрицю, то рішення системи (1) будеx=b. Отже, якщоAблизька до одиничної матриці, то малі зміни вAіbповинні тягнути за собою малі зміни вx.