Алгебри. Подалгебри. Гомоморфізми алгебр
Умовимося впорядковану пару з двох множин А і позначати через .
Визначення 1. Нехай А - непорожня множина, і i iII> -множина n-арних операцій fi заданих на А. Упорядковану пару називаютьуніверсальною алгеброюз безліччю операцій < fi iÎI >, а множина А - основною множиною абоносієм алгебри.
Зауваження 1. Хоча поняття алгебра і безліч А різні, у разі, коли ясно, які операції задані на А, кажуть просто-алгебра А, тобто. алгебру ототожнюють із її носієм.
Примітка 2. У тому випадку, коли безліч операцій < fi iÎI > в універсальній алгебрі А – звичайно, його задають перерахуванням елементів < fi, f2. fK > і в записі алгебри опускають фігурні дужки, тобто пишуть .
Приклад 1. - алгебра натуральних чисел. Тут безліч N розглядається разом з бінарними операціями додавання, множення, а також з нуль-арною операцією фіксації одиниці.
Приклад 2. - алгебра цілих чисел. Здебільшого Z аналізованої алгебри задані дві операції: бінарна - віднімання і нулъ-арная - фіксація нуля.
Приклад 3. Наступні пари , , , не є алгебрами, так як операції не виконуються на даних множинах.
Визначення 2. Нехай на множинах А і В задано одну й ту саму множину операцій. Алгебра називаєтьсяподалгеброю алгебри. якщо безліч є непустим підмножиною множини А.
Приклад 4. Алгебра є подалгеброю алгебри, так як N Ì Z, і безлічі їх операцій збігаються.
Теорема 1. Для того, щоб непорожня підмножина В множини А могла служити основною множиною для деякої подалгебри універсальної алгебри необхідно і достатньо, щобпідмножина було замкнуто щодо кожної операції fi.
Доказ:
Необхідність. Нехай ВІА і - подалгебра алгебри . Так як - алгебра, то кожна операція fi здійсненна на В, тобто безліч замкнуто щодо всіх операцій fi .
Достатність. Нехай ВÌА та В замкнуто щодо кожної операції fi заданої на А. Це означає, що всі операції fi здійсненні на В.
Крім того, так як ВÌА, кожна операція fi, будучи однозначною на А, однозначна і на В. Отже, - алгебра, більш того -подалгебра алгебри i > >.Теорему доведено.
Приклад 5. Розглянемо алгебру. Підмножина Z - негативних чисел множини Z не є подалгеброю, так як Z - незамкнуто щодо заданої бінарної операції множення.
Приклад 6. Розглянемо алгебру. Підмножина N перестав бути подалгеброй, оскільки N немає нуля, тобто. N незамкнуто щодо нуль-арної операції.
Визначення 3. Нехай і - алгебри з n-арними операціями f і g. Відображення j: А®В множини А в множину називаєтьсягомоморфізмом алгебри А в алгебру В, якщо виконується умова:
яке назвемо -умовою гомоморфності. Говорять також, що відображення j зберігає операцію f алгебри А.
Зауваження 1. Якщо f - нуль-арна операція, то вона виділяє якийсь елемент (а) алгебри А, і операція g - також нуль-арна - виділяє якийсь елемент (b) алгебри В, то в цьому випадку умова гомоморфності (*) набуде вигляду: j(а) = b .
Зауваження 2. Якщо і - алгебри з бінарними операціями, то умова гомоморфності запишеться у вигляді: "a, bÎ А, j(а*b) = j(а) # j(b).
Приклад 7. Відображення lg: R + ®R є гомоморфізмом алгебри + ,×> на алгебру. Справді, "a, bR + , lg (a×b) = lg a + lg b.
У разі, якщо безліч операцій, заданих на А і В-кінцеві, визначення однотипних алгебр можна сформулювати так:
Визначення 4*. Алгебри і називаються однотипними, якщо число їх операцій однаково (k = m) і ці операції можна впорядкувати так, що fi і gi (i = 1. к) будуть мати однакові ранги.
Приклад 8. Алгебри є однотипними, а алгебри і однотипними є, оскільки кількість операцій, заданих на Z і R, по-різному.
Приклад 9. Алгебри і різнотипні, тому що на N обидві операції бінарні, а на Z операція віднімання - бінарна, а операція фіксації одиниці - нуль-арна.
Визначення 5.Гомоморфізмом алгебрив однотипну їй алгебруназивається відображення j: А® B таке, що при кожному iII виконується умова гомоморфності:
Кажуть також, що відображення j зберігає всі операції, задані на множині А.
Визначення 6. Алгебри А і В називаютьсягомоморфнимиалгебрами, якщо існує гомоморфізм j алгебри А в алгебру В. Пишуть, j: А®В - гомоморфізм.
Приклад 10. Відображення lg:R + ®R є гомоморфізмом алгебри + , ×, :> в алгебру, так як
a, bÎR + , lg (a×b) = lg a + lg b, тобто образ добутку двох елементів дорівнює сумі образів;
lg (a:b) = lg a - lg b - образ приватного двох елементів дорівнює різниці образів;
lg a -1 = -lg a - образ зворотного елемента дорівнює протилежному елементу;
lg 1 = 0 - образ одиничного елемента дорівнює нульовому елементу.
Отже, алгебри R+ та R гомоморфні.
Залежно від властивостей відображень визначаються різні види гомоморфізмів.
Визначення 7. Гомоморфізм j: А®В алгебри А в алгебру Вназивається:
1)Мономорфізмом(або вкладенням А в), якщо відображення j -ін'єктивно;
2)Епіморфізмом(накладенням А на В), якщо відображення j-сюр'єктивно;
3)Ізоморфізмом, якщо відображення j-бієктивно.
Якщо алгебра А ізоморфна алгебри В, то пишуть А @ В.
Визначення 8. Гомоморфізм j: А®B алгебри А на себе називається:
1)Ендоморфізмом, якщо відображення j - ін'єктивно:
2) автоморфізмом, якщо відображення j - бієктивно;
Зауваження: Ставлення ізоморфізму на безлічі однотипних алгебр А, В, С, . є ставленням еквівалентності, тобто.
а) "A, А@А - ставлення @ рефлексивно,
б) "A, B (A @ B=> B@A) - відношення @ симетрично,
в) "А, В, С, ((А @ В) & (В @ С)) => (А @ С) - відношення @ транзитивно.
Поняття ізоморфізму грає фундаментальну роль математиці. Це ставлення дозволяє класифікувати математичні об'єкти з погляду властивостей операцій, заданих безлічі довільної природи.
Вказівка 1.Для доказу ізоморфізмудвох однотипних алгебр А і В потрібно, або вказати конкретний ізоморфізм, або довести існування такого ізоморфізму. Виходячи з визначення поняття ізоморфізму, зазначимо алгоритм розв'язання задач такого типу. Він складається з наступних кроків:
1. Задаємо відображення j: А®В так, що а, j(а) = b;
2. Доводимо, що відображення j є бієкцією, тобто. j задовольняє двом умовам:
b ÎВ, $ аÎА j(а)=b-умова сюр'єктивності,
3. Перевіряємо, що j задовольняє умову гомоморфності (**).
Приклад 11. Довести, що алгебри і , де 2Z - безліч парних чисел, ізоморфні. Для підтвердження скористаємося вказівкою 1.
1)Задамо відображення j: Z®2Z наступним чином:
2) Доведемо, що j – сюр'єктивно. Для будь-якого елемента 2nZ завжди можна вказати його прообраз nZ, тобто. j – сюр'єктивно.
Доведемо, що j-ін'єктивно Нехай "a, bÎZ, j(а) = j(b), означає 2а = 2b або а = b, тобто j-ін'єктивно.
3) Залишається довести, що j-гомоморфізм. Для цього потрібно перевірити здійсненність умови гомоморфності:
"a, bZ, j(а+b) = j(а) + j(b). (1)
Знаходимо образ суми, що у лівої частини рівності (1). Отримуємо j(а+b) = 2(а + b) = 2а + 2b. (2)
Потім знаходимо суму образів, що стоять у правій частині рівності (1):
Порівнюючи (2) і (3), бачимо, що образ суми дорівнює сумі образів, тобто. виконується умова (1). Отже, j – гомоморфізм.
Таким чином, усі три кроки алгоритму виконані. Отже,
Вказівка 2. Для того, щоб довести, щоалгебри А і_В неізоморфніпотрібно вказати таку властивість, що формулюється в термінах деякої операції однієї з алгебр, яким інша алгебра не має.
Приклад 12. Довести, що алгебри та неізоморфні.
Для доказу скористаємося вказівкою 2. Припустимо, що ці алгебри є ізоморфними. В алгебрі операція + має властивість: "a Q, а = а/2 + а/2, де а/2 - число раціональне.
Це властивість в алгебрі записується так: "bÎQ, b = Öb ×Öb.
Однак, не для всіх раціональних число Öb - раціональне. Отже, припущення, що дані алгебри ізоморфні, невірно.
Чи не знайшли те, що шукали? Скористайтеся пошуком:
Вимкніть adBlock! і оновіть сторінку (F5)дуже потрібно