Algnum - Кафедра теорії чисел
Програма курсу
Діофантове рівняння $ y ^ 3-x ^ 2 = 2 $. Прості розширення. Ступінь розширення. Поведінка ступеня у вежах розширень. Нерозв'язність задач подвоєння куба та трисекції кута за допомогою циркуля та лінійки.
Теорема про еквівалентність кінцівки та кінцевої породженості алгебраїчних розширень, її наслідки. Алгебраїчна замкнутість поля всіх чисел алгебри. Теорема про примітивний елемент. Лемма про продовження вкладень та її наслідки. Нормальні розширення. Група Галуа нормального розширення та її властивості.
Поле розкладання багаточлену. Група Галуа багаточлена. Розв'язність у радикалах рівнянь другого, третього та четвертого ступеня. Кругових полів. Теорема Гауса про побудову правильних багатокутників. Кінцеві поля. Обчислення групи Галуа для деяких багаточленів. Нерозв'язність у радикалах рівнянь п'ятого та більш високих ступенів.
Характеристичний багаточлен числа, його зв'язок із мінімальним многочленом. Норма і слід в розширеннях алгебри, їх властивості. Дискримінант сукупності чисел, його властивості. Взаємний базис.
Лемма про дискретні підгрупи в $\mathbb^n$. Теорема про те, що безліч цілих чисел алгебри довільного поля алгебраїчних чисел є порядок. Теореми Бліхфельдта та Мінковського. Існування в повному модулі чисел із заданими обмеженнями на величину їх сполучених. Теорема Діріхле про одиниці.
Максимальність найпростіших ідеалів. Властивість урвища зростаючих ланцюжків ідеалів. Дробові ідеали. Теорема про розкладання ідеалів у витвір простих. Показники та його властивості. Норма ідеалу. Мультиплікативність норми. Норма головного ідеалу. Кінцівка групи класів ідеалів. Розкладання цілих раціональних чисел у добуток простих ідеалів кільця цілих поляалгебраїчних чисел. Кінцівка безлічі розгалужених простих чисел.
Теорема Ферма для регулярних простих чисел (теорема Кумера).