Аперіодична ланка 1-го порядку
Лекція №4. Характеристики типових ланок САР
Загальні положення
Під типовою ланкою розуміється така ланка, яка описується диференціальним рівнянням не вище за другий порядок. На рис. 4.1 представлена класифікація типових ланок відповідно до виду диференціального рівняння.
Мал. 4.1. Класифікація типових ланок
Характеристики типових ланок докладніше розглянуті нижче
Безинерційна ланка
Безінерційною або ідеальною ланкою називається ланка, яка не тільки в статиці, але і в динаміці описується рівнянням алгебри.
. (4.1)
Передатна функція ланки дорівнює постійній величині
. (4.2)
Безінерційна ланка відноситься до групи позиційних ланок. Прикладом такої ланки є дільник напруги, безінерційний підсилювач, редуктор (без урахування явища скручування та люфтів) тощо.
Перехідна функція такої ланки є ступінчастою функцією (рис. 4.2, а), тобто приx1=1(t),x2= A(t)= k1(t).
Мал. 4.2. Перехідна функція (а), дельта-функція (б) та АФЧХ (в)
Функція ваги є імпульсною функцією, площа якої дорівнюєk(рис. 4.2, б), тобто при , .
Амплітудно-фазова характеристика вироджується в точку, розташовану на речовій осі на відстаніkвід початку координат (рис. 4.2, в).
Логарифмічна амплітудна частотна характеристика являє собою пряму, паралельну осі частот, що проходить на висоті 20 lg k .
Фазові зрушення в ланці, що розглядається, відсутні при будь-якій частоті вхідного впливу, тобто y=0. Тому фазова характеристика збігається з віссю частот ітут не наводиться.
Слід наголосити, що безінерційна ланка є деякою ідеалізацією реальних ланок. Насправді жодна ланка не в змозі поступово пропускати всі частоти від 0 до ∞. Зазвичай до такого виду ланки зводиться одна з реальних ланок, наприклад аперіодична або коливальна, якщо динамічними (перехідними) процесами в цій ланці можна знехтувати.
Аперіодична ланка 1-го порядку
Ланка відноситься до групи позиційних ланок і описується рівнянням
. (4.3)
Передатна функція цієї ланки
. (4.4)
Одним із прикладів аперіодичної ланки першого порядку єRL– ланцюг (рис. 4.3, а), де вхідною величиною є напругаU1, що надходить на ланцюг, а як вихідна величина може розглядатися струм або напругаU2 на опоріR. k = 1 Постійна часу ланкиT = L / R.
Мал. 4.3. Аперіодичні ланки першого порядку
Іншим прикладом єRC-ланцюг (рис. 4.3 б) з коефіцієнтом передачіk =1 і постійної часуT = RC.
Перехідна функція ланки знайдеться як рішення рівняння (4.3) приx1=1 та початковій умовіx2=0 приt =0. Це рішення є експонентом (рис. 4.4, а)
. (4.5)
Множник 1(t) вказує, що експонента розглядається, починаючи з моментуt =0, тобто для позитивного часу. У багатьох випадках цей множник опускається, але те, що експонента розглядається дляt ≥0, необхідно мати на увазі.
Відрізок, що відсікається дотичної до кривої, у будь-якій точці кривої на асимптоті дорівнює постійнійчасуT. Видно, що більше постійна часу ланки, тим більше триває перехідний процес, тобто повільніше встановлюється статичне значенняx2= kна виході ланки.
Строго кажучи, експонента наближається до цього значення в нескінченності. Прийнято, що перехідний процес вважається закінченим через проміжок часу 3T.
Мал. 4.4. Перехідна функція (а) та дельта-функція (б) аперіодичного ланки першого порядку
Постійна часу характеризує «інерційність» або «інерційне запізнення» аперіодичного ланки. Вихідне значенняx2= k x1 в аперіодичному ланці встановлюється лише через деякий час після подачі вхідного впливуtп.
Функція ваги (рис. 4.4,б) може бути знайдена диференціюванням (4.5)
. (4.6)
Частотна передатна функція згідно (4.3), її модуль і фаза відповідно дорівнюють
; (4.7)
. (4.8)
Усі три характеристики зображені на рис. 4.5. АФЧХ для позитивних частот має вигляд півкола з діаметром, рівним коефіцієнту передачі ланкиk.Величина постійної часу ланкиТвизначає розподіл відміток w вздовж кривої. Три характерні позначки показано на рис. 4.5,а(w=0; w=1/Tі w → µ).
Мал. 4.5. АФЧХ (а), АЧХ (б) та ФЧХ (в) аперіодичної ланки першого порядку
Амплітудно-фазова характеристика для позитивних частот може бути доповнена дзеркальним півколом для негативних частот (показана пунктиром). В результаті амплітудно-фазова характеристика представлятиме замкнуту криву – коло.
З амплітудної характеристики видно, що коливання малих частот w1 / Tпроходять із сильним послабленням амплітуди (мале значенняА), тобто «погано пропускаються» або практично «не пропускаються» ланкою. Чим менша постійна часуТ, тобто чим менша інерційність ланки, тим більше витягнута амплітудна характеристикаА(w) вздовж осі частот, або тим ширша смуга пропускання частот у цієї ланки
. (4.9)
Крім того, чим менша постійна часу ланки, тим менше виходять фазові зрушення між вихідним та вхідним коливаннями.
Знайдемо вирази для речовинної та уявної частин частотної передавальної функції. Для цього помножимо чисельник та знаменник (4.7) на комплекс, пов'язаний знаменнику
(4.10)
(4.11)
Побудуємо тепер логарифмічні частотні характеристики аперіодичного ланки першого порядку. Для побудови ЛАХ тут і далі вважатимемо, що коефіцієнтkбезрозмірний. Для (4.7) маємо
. (4.12)
Побудуємо наближену так звану асимптотичну ЛАХ. Для цієї мети на стандартній сітці (рис. 4.6) проведемо вертикальну пунктирну пряму при частоті, яка називається сполучною частотою w=1/T.
Для частот, менших, ніж сполучна, тобто при w2T22Т2 . Тоді замість (3.37) матимемо наближений виразL(w)»20lg(k /wT) при w>1/ T, якому відповідає пряма з негативним нахилом 20 дБ/дек (прямаb-с).
Мал. 4.6. ЛАХ та ЛФХ аперіодичної ланки першого порядку
Ламана лініяа-b-сі називається асимптотичною (наближеною) ЛАХ. Як було видно, побудова її виготовляється дуже просто - практично без обчислювальної роботи. Дійсна ЛАХ (показана пунктиром) буде дещовідрізнятиметься від асимптотичної, причому найбільше відхилення буде в точціb. Воно дорівнює – 3 дБ, оскільки
, (4.13)
що у лінійному масштабі відповідає відхилення в раз.
На решті всього ліворуч від сполучної частоти дійсна ЛАХ відрізнятиметься від асимптотичної менш ніж на 3 дБ. Тому в багатьох практичних розрахунках достатньо обмежитися побудовою асимптотичної ЛАХ.
На тому ж рис. 4.6 показано логарифмічна фазова характеристика (ЛФГ). Характерною її особливістю є зсув по фазі, що дорівнює–45° при частоті, що сполучає (бо– arctgwT = – arctg1= –45°), і симетрія ЛФГ щодо частоти, що сполучає. Для частоти w=0 фазовий зсув y=0 і за w → ∞ фазовий зсув y →–90°.