Апроксимація даних сплайнами Безьє - Віртуальні лабораторії

Сплайн (від англ. spline, - гнучке лекало, гнучка плаза рейка - смуга металу, що використовується для креслення кривих ліній) - функція, область визначення якої розбита на кінцеве число відрізків, на кожному з яких сплайн збігається з деяким алгебраїчним багаточленом. Максимальний ступінь із використаних поліномів називається ступенем сплайну. Різниця між ступенем сплайну і гладкістю, що вийшла, називається дефектом сплайну. Наприклад, безперервна ламана є сплайн ступеня 1 і дефекту 1. У сучасному розумінні сплайн - це рішення багатоточкових крайових завдань сіточними методами.

Щоб наочно продемонструвати наведені поняття сплайну, ступеня сплайну та дефекту сплайну, розглянемо таку задачу: є сукупність експериментальних даних, необхідно максимально точність апроксимувати послідовність даних поліноміальною функцією n-го порядку з достовірністю не менше 95%. Як базовий вибираємо метод поліноміальної апроксимації за допомогою так званого сплайну Безье. Даний метод є найбільш актуальним для реалізації в комп'ютерному алгоритмі.

Сплайни (криві) Без'є або Криві Бернштейна-Безье розроблені в 60-х роках XX століття незалежно один від одного П'єром Без'є з автомобілебудівної компанії «Рено» та Полем де Кастельжо з компанії «Сітроен», де застосовувалися для проектування кузовів автомобілів[1].

Крива Безьє відноситься до поліном третього порядку і унікально визначається чотирма точками. Позначимо ці точки p 0 (початкова), p 1 , p 2 (дві управляючі) та p 3 (кінцева). Позначені точки матимуть координати: (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ) та (x 3 , y 3 ). Поліном третього порядку, що задає координати точок у двовимірному просторі, виражається параметричнимирівняннями загального виду:

---