Аркуш Мебіуса
Інформація - Математика та статистика
Інші матеріали по предмету Математика та статистика
XШ районна науково-практична конференція учнів
Школа № 41, 10 клас
м.Новокузнецьк, 2009 рік.
Розповідають, що відкрити свій "аркуш Мебіуса" допомогла служниця зшивала неправильно кінці стрічки.
У аркуша Мебіуса всього одна сторона, і це вразило німецьких професорів, і тому що кожна поверхня має дві сторони.
Розповідають, що відкрити свій "аркуш Мебіуса" допомогла служниця зшивала неправильно кінці стрічки.
Чим же цікавий цей лист? А тим, що у аркуша Мебіуса лише одна сторона. Ми ж звикли до того, що у будь-якій поверхні, з якою маємо справу (аркуш паперу, велосипедна або волейбольна камера) – дві сторони.
Стрічка Мёбіуса має цікаві властивості. Якщо спробувати розрізати стрічку навпіл по лінії, рівновіддалену від країв, замість двох стрічок Мебіуса вийде одна довга двостороння (мал.1) (удвічі більше закручена, ніж стрічка Мебіуса) стрічка, яку фокусники називають "афганська стрічка". Якщо тепер цю стрічку розрізати посередині, вийдуть дві намотані одна на одну (рис.2). Інші цікаві комбінації стрічок можуть бути отримані зі стрічок Мебіуса з двома або більше оборотами в них. Наприклад, якщо розрізати стрічку з трьома напівоборотами, то вийде стрічка, завита у вузол трилисника (рис.3). Розріз стрічки Мебіуса з додатковими оборотами дає несподівані фігури, які називаються парадромними кільцями.
Щоб зробити лист Мебіуса треба взяти досить витягнуту паперову смужку та з'єднати кінці смужки, попередньо перевернувши один із них. Перебуваючи на поверхні аркуша Мебіуса, можна було б йти по ній вічно.
Спробуйте пофарбувати один бік листа Мебіуса шматок за шматком,не переходячи через край стрічки. І що ж? Ви зафарбуєте весь лист Мебіуса! "Якщо хто-небудь спробує розфарбувати "тільки один" бік поверхні стрічки Мебіуса, нехай краще відразу занурить її у відро з фарбою", пишуть Ріхард Курант і Герберт Роббінс у чудовій книзі "Що таке математика".
Несподіванка номер три: кордон у аркуша Мебіуса одна, а не складається з двох частин, як у звичайного кільця.
Властивість односторонності листа Мёбіуса було використано в техніці: якщо у ремінної передачі ремінь зробити у вигляді листа Мёбіуса, то його поверхня зношується вдвічі повільніше, ніж у звичайного кільця. Це дає суттєву економію (рис. 4).
Аркуш Мёбиуса одне із об'єктів у сфері математики під назвоютопологія(по-іншому " геометрія становища " ). Дивовижні властивості листа Мебіуса він має один край, один бік, не пов'язані з його положенням у просторі, з поняттями відстані, кута, проте мають цілком геометричний характер. Вивченням таких якостей займається топологія. Виявляється, властивості такого типу, незважаючи на їхню незвичність, пов'язані саме з найбільш абстрактними математичними дисциплінами, саме з алгеброю і теорією функцій.
Якщо на внутрішній бік звичайного кільця посадити павука, а на зовнішню муху і дозволити їм повзати як завгодно, заборонивши лише перелазити через краї кільця, то павук не зможе дістатися мухи, чи не так? А якщо їх обох посадити на листок Мебіуса, то бідна муха буде з'їдена, якщо, звичайно, павук повзає швидше!
У топології вивчаються властивості постатей і тіл, які змінюються за її безперервних деформаціях.
Експерименти для всіх.Візьмемо стрічку, розділимо кожну її сторону на три однакові смужки і склеїмо, перекрутивши один раз лист. Різатимемо попунктирної лінії. Якби стрічка була перекручена, то спочатку ми відрізали б одне кільце, а потім ще два інші. Усього три кільця, кожне тієї довжини, як і початкове, але друге меншої ширини. Але в нас листок Мебіуса. І, не відриваючи ножиць від паперу, розріжемо пунктирними лініями відразу і отримаємо два зчеплені кільця (рис.5). Одна з них вдвічі довша за вихідну і перекручена двічі.
Другий лист Мебіуса, ширина якого втричі менша, ніж у вихідного.
Лист Мебіуса не орієнтована поверхня (поверхня, що допускає орієнтацію) з краєм.
Аркуш Мебіуса це також простір нетривального розшарування над коло з шаром відрізок.
Лист Мёбіуса двомірне компактне безліч (тобто поверхню) з кордоном. Це стандартний приклад поверхні, яка не орієнтована. Аркуш Мебіуса є також стандартний приклад, який використовується, щоб проілюструвати математичне поняття пучок волокон.
Подібні об'єкти.Близьким "дивним" геометричним об'єктом є пляшка Клейна (рі