Автоморфізм
Автоморфізмалгебраїчної системи - ізоморфізм, що відображає систему алгебри на себе.
Сукупність всіх автоморфізмів деякої системи алгебри з операцією композиції і тотожним відображенням як нейтральний елемент утворює групу. Група автоморфізмів системи алгебри K позначається Aut K K> .
Найбільш простий приклад автоморфізму - це автоморфізм множини, тобто перестановка елементів цієї множини.
Зміст
Групи автоморфізмів ґрат
У різних галузях математики використовуються різні поняття ґрат. Зокрема:
- У фізиці твердого тіла і теорії кристалографічних груп кристалічні грати — це безліч точок афінного простору, що володіє трансляційною симетрією. Автоморфізми цієї множини повинні зберігати відстань між точками, тобто рухами. Група цих автоморфізмів - це кристалографічна група (або сюр'єктивно гомоморфно відображається в кристалографічній групі) [1] .
- Теоретично груп грати — це група, ізоморфна Z n ^> , з билинейной формою у ньому (в тривимірному евклидовом просторі відповідає гратам Браве з теорії кристалографічних груп із виділеним початком координат). Автоморфізм такої ґрати має бути автоморфізмом групи. Група таких автоморфізмів, на відміну від кристалографічної групи, кінцева, якщо білінійна форма ґрат відповідає евклідовому простору [2] .