БАГАТОГРАНИК ПРАВИЛЬНІ БАГАТОГРАНИКИ - Словник Кольєра - українська мова
До статті БАГАТОГРАНИК
Випуклий багатогранник називається правильним, якщо він задовольняє наступним двом умовам:
(i) усі його грані – конгруентні правильні багатокутники;
(ii) до кожної вершини примикає те саме число граней.
Якщо всі грані - правильні р-кутники і q з них примикають до кожної вершини, такий правильний багатогранник позначається . Це позначення було запропоновано Л. Шлефлі (1814-1895), швейцарським математиком, якому належить чимало витончених результатів у геометрії та математичному аналізі.
Існують неопуклі багатогранники, у яких грані перетинаються і які називаються "правильними зірчастими багатогранниками". Оскільки ми домовилися такі багатогранники не розглядати, то під правильними багатогранниками ми розумітимемо виключно опуклі правильні багатогранники.
Платонові тіла. На рис. 2 зображені правильні багатогранники. Найпростішим із них є правильний тетраедр, гранями якого є чотири рівносторонні трикутники і до кожної з вершин примикають по три грані. Тетраедру відповідає запис. Це не що інше, як окремий випадок трикутної піраміди. Найбільш відомий із правильних багатогранників куб (іноді званий правильним гексаедром) – пряма квадратна призма, усі шість граней якої – квадрати. Оскільки до кожної вершини примикають по 3 квадрати, куб позначається . Якщо дві конгруентні квадратні піраміди з гранями, що мають форму рівносторонніх трикутників, поєднати основами, то вийде багатогранник, який називається правильним октаедром. Він обмежений вісьмома рівносторонніми трикутниками, до кожної з вершин примикають по чотири трикутники, і отже, йому відповідаєзапис. Правильний октаедр можна розглядати і як окремий випадок прямої правильної трикутної антипризми. Розглянемо тепер пряму правильну п'ятикутну антипризму, грані якої мають форму рівносторонніх трикутників, і дві правильні п'ятикутні піраміди, основи яких конгруентні основи антипризми, а грані мають форму рівносторонніх трикутників. Якщо ці піраміди приєднати до антипризми, поєднавши їх підстави, то вийде ще один правильний багатогранник. Двадцять граней мають форму рівносторонніх трикутників, до кожної вершини примикають по п'ять граней. Такий багатогранник називається правильним ікосаедром і позначається. Крім чотирьох названих вище правильних багатогранників існує ще один - правильний додекаедр, обмежений дванадцятьма п'ятикутними гранями; до кожної його вершині примикають три грані, тому додекаэдр позначається як .
П'ять перерахованих вище правильних багатогранників, які часто називають також "тілами Платона", захопили уяву математиків, містиків і філософів давнини понад дві тисячі років тому. Давні греки навіть встановили містичну відповідність між тетраедром, кубом, октаедром та ікосаедром та чотирма природними засадами - вогнем, землею, повітрям та водою. Що ж до п'ятого правильного багатогранника, додекаэдра, всі вони розглядали його як форму Всесвіту. Ці ідеї не є лише надбанням минулого. І зараз, через два тисячоліття, багатьох приваблює естетичний початок, що лежить в їх основі. Про те, що вони не втратили своєї привабливості й досі, дуже переконливо свідчить картина іспанського художника Сальвадора Далі Тайна вечеря.
Давніми греками досліджувалися також багато геометричні властивості платонових тіл; з плодами їх досліджень можна ознайомитись по13-й книзі Почав Евкліда (див. також ГЕОМЕТРІЯ). Вивчення платонових тіл і пов'язаних із ними фігур триває й досі. І хоча основними мотивами сучасних досліджень є краса і симетрія, вони мають також і деяке наукове значення, особливо в кристалографії. Кристали кухонної солі, тіоантимоніду натрію та хромових галунів зустрічаються в природі у вигляді куба, тетраедра та октаедра відповідно. Ікосаедр та додекаедр серед кристалічних форм не зустрічаються, але їх можна спостерігати серед форм мікроскопічних морських організмів, відомих під назвою радіолярій.
Число правильних багатогранників. Звичайно запитати, чи існують крім платонових тіл інші правильні багатогранники. Як показують такі прості міркування, відповідь має бути негативною. Нехай – довільний правильний багатогранник. Так як його гранями служать правильні р-кутники, їх внутрішні кути, як неважко показати, дорівнюють (180 - 360/р) або 180 (1 - 2/р) градусам. Так як багатогранник опуклий, сума всіх внутрішніх кутів по граням, що примикають до будь-якої з його вершин, повинна бути меншою за 360 градусів. Але до кожної вершини примикають q граней, тому має виконуватися нерівність
Неважко бачити, що p і q повинні бути більшими за 2. Підставляючи в (1) р = 3, ми виявляємо, що єдиними допустимими значеннями q у цьому випадку є 3, 4 і 5, тобто. отримуємо багатогранники, і. При р = 4 єдиним допустимим значенням є 3, тобто. багатогранник, при р = 5 нерівності (1) також задовольняє лише q = 3, тобто. багатогранник. p 5 допустимих значень q не існує. Отже, інших правильних багатогранників, крім тіл Платона, немає.
Усі п'ять правильних багатогранників перелічені у таблиці, наведеній нижче. У трьох останніх стовпцяхвказані N0 – число вершин, N1 – число ребер та N2 – число граней кожного багатогранника.
На жаль, визначення правильного багатогранника, що наводиться в багатьох підручниках геометрії, неповно. Поширена помилка полягає в тому, що у визначенні потрібно лише виконання наведеної вище умови (i), але не береться до уваги умова (ii). Тим часом умова (ii) абсолютно необхідна, у чому найпростіше переконатися, розглянувши опуклий багатогранник, що задовольняє умові (i), але не задовольняє умові (ii). Найпростіший приклад такого роду можна побудувати, ототожнивши грань правильного тетраедра з гранню ще одного тетраедра, конгруентного першому. У результаті отримаємо опуклий багатогранник, шістьма гранями якого є конгруентні рівносторонні трикутники. Однак до одних вершин примикають три грані, а до інших – чотири, що порушує умову (ii).
Властивості правильних багатогранників. Вершини будь-якого правильного багатокутника лежать на сфері (що навряд чи викликає подив, якщо згадати, що вершини будь-якого правильного багатокутника лежать на колі). Крім цієї сфери, яка називається "описаною сферою", є ще дві важливі сфери. Один із них, " середня сфера " , проходить через середини всіх ребер, іншу, " вписана сфера " , стосується всіх граней у тому центрах. Усі три сфери мають загальний центр, який називається центром багатогранника.
Подвійні багатогранники. Розглянемо правильний багатогранник та її серединну сферу S. Середня точка кожного ребра стосується сфери. Замінюючи кожне ребро відрізком перпендикулярної прямої, що стосується S в тій же точці, ми отримаємо N1 ребер багатогранника, двоїстого багатогранника . Неважко показати, що гранями двоїстого багатогранника є правильні q-кутники і що до кожної вершини примикають рграней. Отже, багатограннику двоїстий правильний багатогранник. Багатограннику двоїстий інший багатогранник, конгруентний вихідному (тому називається самодвійним багатогранником), багатограннику двоїстий багатогранник, а багатограннику - багатогранник. На рис. 3 багатогранники та показані в положенні двоїстості один одному. Крім того, кожній вершині, кожному ребру та кожній грані багатогранника відповідає єдина грань, єдине ребро та єдина вершина двоїстого багатогранника . Отже, якщо має N0 вершин, N1 ребер та N2 граней, то має N2 вершин, N1 ребер та N0 граней.
Так як кожна з N2 граней правильного багатогранника обмежена р ребрами і кожне ребро є загальним рівно для двох граней, то є pN2/2 ребер, тому N1 = pN2/2. У двоїстого багатогранника ребер також N1 і N0 граней, тому N1 = qN0/2. Таким чином, числа N0, N1 та N2 для будь-якого правильного багатогранника пов'язані співвідношенням
Симетрія. Основний інтерес до правильних багатогранників викликає велику кількість симетрій, які вони мають. Під симетрією (або перетворенням симетрії) багатогранника ми розуміємо такий його рух як твердого тіла у просторі (наприклад, поворот навколо деякої прямої, відображення щодо деякої площини тощо), що залишає незмінними безлічі вершин, ребер та граней багатогранника. Інакше висловлюючись, під впливом перетворення симетрії вершина, ребро чи грань або зберігає своє вихідне становище, або перетворюється на вихідне становище інший вершини, іншого ребра чи інший грані.
Існує одна симетрія, яка властива всім багатогранникам. Йдеться про тотожне перетворення, що залишає будь-яку точку у вихідному положенні. З менш тривіальним прикладомсиметрії ми зустрічаємося у разі прямої правильної р-кутової призми. Нехай l – пряма, що з'єднує центри основ. Поворот навколо l на будь-яке ціле кратне кута 360/р є симетрією. Нехай, далі,? - площина, що проходить посередині між основами паралельно їм. Відображення щодо площини? (Рух, що переводить будь-яку точку P в точку P?, Таку, що? Перетинає відрізок PP? Під прямим кутом і ділить його навпіл) - ще одна симетрія. Комбінуючи відображення щодо площини? з поворотом навколо прямої l ми отримаємо ще одну симетрію.
Будь-яку симетрію багатогранника можна у вигляді твори відбитків. Під твором кількох рухів багатогранника як твердого тіла тут розуміється виконання окремих рухів у певному заздалегідь встановленому порядку. Наприклад, згадуваний вище поворот на кут 360/р градусів навколо прямої l є добуток відбитків щодо будь-яких двох площин, що містять l і утворюють відносно один одного кут 180/р градусів. Симетрія, що є твором парного числа відбитків, називається прямою, інакше - зворотною. Таким чином, будь-який поворот навколо прямої – пряма симетрія. Будь-яке відображення є зворотною симетрією.
Розглянемо докладніше симетрії тетраедра, тобто. правильного багатогранника. Будь-яка пряма, що проходить через будь-яку вершину та центр тетраедра, проходить через центр протилежної грані. Поворот на 120 або 240 градусів навколо цієї прямої належить до симетрій тетраедра. Так як у тетраедра 4 вершини (і 4 грані), ми отримаємо всього 8 прямих симетрій. Будь-яка пряма проходить через центр і середину ребра тетраедра проходить через середину протилежного ребра. Поворот на 180 градусів (напівобіг) навколо такої прямої також єсиметрією. Так як у тетраедра 3 пари ребер, ми отримуємо ще 3 прямі симетрії. Отже, загальна кількість прямих симетрій, включаючи тотожне перетворення, сягає 12. Можна показати, що інших прямих симетрій немає і що є 12 зворотних симетрій. Таким чином, тетраедр допускає лише 24 симетрії. Для наочності корисно побудувати картонну модель правильного тетраедра і переконатися, що тетраедр дійсно має 24 симетрії. Розгортки, які можна вирізати з тонкого картону і, склавши, склеїти їх п'ять правильних багатогранників, наведені на рис. 4.
Прямі симетрії решти правильних багатогранників можна описати не окремо, а всі разом. Умовимося розуміти під будь-який правильний багатогранник, крім . Пряма, що проходить через центр та будь-яку вершину, проходить через протилежну вершину, і будь-який поворот на ціле кратне 360/q градусів навколо цієї прямої є симетрією. Отже, для кожної такої прямої існують, включаючи тотожне перетворення (q - 1) різних симетрій. Кожна така пряма поєднує дві з N0 вершин; отже, всього таких прямих - N0/2, що дає (q - 1) N0/2 симетрії. Крім того, пряма, що проходить через центр багатогранника і центр будь-якої грані, проходить через центр протилежної грані, і будь-який поворот навколо такої прямої на кратне 360/р градусів є симетрією. Оскільки загальна кількість таких ліній дорівнює N2/2, де N2 - число граней багатогранника , ми отримуємо (p - 1) N2/2 різних симетрій, включаючи тотожне перетворення. Нарешті, пряма, що проходить через центр і середину будь-якого ребра багатогранника, проходить через середину протилежного ребра, і симетрією є напівобіг навколо цієї прямої. Оскільки є N1/2 таких прямих, де N1 - числоребер багатогранника, ми отримуємо ще N1/2 симетрій. З урахуванням тотожного перетворення отримуємо
прямих симетрій. Інших прямих симетрій немає, і є стільки ж симетрій зворотних.
Хоча формула (3) була отримана не для багатогранника, неважко перевірити, що вона вірна і для нього. Таким чином, багатогранник має 12 прямих симетрій, багатогранники і мають по 24 симетрії, а багатогранники і - по 60 симетрій.
Читачі, знайомі з абстрактною алгеброю, зрозуміють, що симетрії багатогранника утворюють групу щодо певного вище "множення". У цій групі прямі симетрії утворюють підгрупу індексу 2, а зворотні симетрії групу не утворюють, оскільки порушують властивість замкнутості та не містять тотожного перетворення (одиничного елемента групи). Зазвичай про групу прямих симетрій говорять як групу багатогранника, а повну групу симетрій називають його розширеною групою. З розглянутих вище властивостей двоїстих багатогранників ясно, що будь-який правильний багатогранник і двоїстий йому багатогранник мають одну і ту ж групу. Група тетраедра називається тетраедричною групою, група куба та октаедра називається октаедричною групою, а група додекаедра та ікосаедра - ікосаедричною групою. Вони ізоморфні знакозмінній групі А4 із чотирьох символів, симетричній групі S4 із чотирьох символів та знакозмінній групі А5 із п'яти символів відповідно (див. також АЛГЕБРА АБСТРАКТНА).