Багатогранники, що згинаються

Подивимося на багатогугольник із жорсткими сторонами, у вершинах якого вміщені шарніри. Якщо в нього понад три вершини, то він може згинатися - довжини сторін далеко не однозначно визначають багатокутник. А що відбувається з багатогранниками у тривимірному просторі? Якщо зафіксувати форму їхніх граней, чи зможуть вони згинатися?

Виявляється, що іноді можуть, але це дуже рідкісна властивість Одразу скажемо, що під згинанням розуміється безперервне згинання, а не просто те, що багатогранник не однозначно задається своїми гранями. Такий приклад вигадати досить легко:

Проте, ще 1813 року Коші довів, що з опуклого багатогранника навіть така ситуація неможлива: опуклий багатогранник однозначно визначається своїми гранями.

В 1897 вдалося побудувати приклади самоперетинаються згинаються багатогранників (наочно це можна представити як каркас з дроту, відсутність жорстких граней не має значення, так як всі вони трикутні і однозначно визначаються ребрами) - октаедри Брікара. Wolfram демонстрації

Тільки в 1976 році Конеллі запропонував конструкцію невипуклого згинального багатогранника, що несамоперетинається. Слідуючи його ідеям, Штеффен незабаром побудував приклад багатогранника, що згинається, з 9 вершинами (пізніше було доведено, що з меншою кількістю вершин це зробити неможливо). Відео з цим багатогранником розміщено на початку посту, також є Wolfram demonstration.

Обмовимо заздалегідь, що розглядаються багатогранники із трикутними гранями. Це не змінює суті справи, так як у будь-якого багатогранника, що згинається, можна додати ребра, розрізавши грані на трикутники, від чого його згинання не пропаде. Однак, це спрощує обчислення, оскільки тепер вся інформація про гранях багатогранника міститься у комбінаторномубудову та довжини ребер.

Спробуємо тепер зрозуміти, чому виявилося так складно знайти багатогранники, що згинаються, в той час як для багатокутників це дуже типова властивість. Подивимося на багатогугольник із n вершинами. Його форма задається координатами вершин, яких 2n. Ці координати задають як форму многоугольника, а й його становище на площині. Положення визначається 3 координатами (наприклад, пара координат однієї вершини і кут повороту багатокутника вокург її). Таким чином, виходить система з 2n-3 ступенями свободи, у той час як довжини ребер накладають лише n умов, і при n>3 виходить 2n-3&n Говорячи математичною мовою, іммется n функцій від 2n-3 змінних, що зіставляють набору координат вершин набір квадратів довжин ребер(беруться квадрати, щоб функції вийшли поліноміальними) і при n>3 образ функції далеко не однозначно задає прообраз.

Проведемо тепер аналогічне обчислення багатогранників. Форма багатогранника з n вершинами задається 3n-6 параметрами (оскільки повнення багатогранника у просторі задається 6 параметрами). Порахуємо тепер кількість ребер. Нехай їхнє число дорівнює e. Якщо f — число граней, то 3f=2e, оскільки до кожного ребру прилягають дві грані, кожна грань містить 3 ребра. Застосовуючи Формулу Ейлера, отримуємо n-e+2e/3=2, тобто e=3n-6. Виходить, що кількість умов, що накладаються на багатогранник точно дорівнює кількості ступенів свободи.

Не означає, що довжини ребер однозначно задають форму багатогранника. Цілком можливо, у кожного набору довжин ребер буде кілька прообразів серед форм багатогранників, але вони будуть ізольованими (як у прикладі на початку посту), але локально прообраз є єдиним. Див. Теорема про неявну функцію. Ціла родина прообразів, потрібна для згинання, знайдеться тільки за умовивиродженості набору функцій, див. Якобіан. Таким чином, для можливості згинання комбінаторна структура багатогранника повинна задавати вироджену систему рівнянь на довжини ребер і координати вершин, що пояснює рідкість багатогранників, що згинаються.

Після побудови прикладів багатогранників математики, що згинаються, почали вивчати їх властивості при згинанні. У 1996 Сабітов відкрив дивовижний факт - багатогранник, що згинається, зберігає обсяг при згинанні (точніше, він довів сильніше твердження - обсяг багатогранника є коренем багаточлена, коефіцієнти якого поліноміально виражаються через квадрати довжин ребер). Що примітно, незважаючи на нещодавність результату, доказ зовсім не складний і зрозумілий студенту-математику 1-2 курсу.

Далі математики почали вивчати багатогранники старших розмірностей. А. Гайфуллін довів аналог теореми Сабітова у всіх розмірностях і побудував приклади багатогранників всіх розмірностей, що згинаються.

Додаткові матеріали:

Відео на сайті etudes.ru про багатогранники, що згинаються.
Стаття І. Максимова про згинаються багатогранники з малою кількістю вершин
Лекція А.Гайфулліна
Інструкція зі склеювання багатогранника Штеффена

Хардкорна конфа за С++. Ми запрошуємо лише профі.