Базис векторного простору » Лінійна Алгебра
Сайт про розділ вищої математики - лінійної алгебри
Базис векторного простору
Визначення. Система векторів векторного простору над полем До називається породжувальної (утворюючої) системою векторів цього векторного простору, якщо вона представляє будь-який вектор, тобто. якщо знайдеться такий набір скалярів, що.
Визначення. Система векторів векторного простору називається мінімальною системою, що породжує, якщо при видаленні з цієї системи будь-якого вектора вона перестає бути системою, що породжує.
Зауваження. З визначення відразу ж випливає, що якщо система векторів, що породжує, не є мінімальною, то знайдеться хоча б один вектор системи, при видаленні якого з системи, система векторів, що залишилася, як і раніше буде породжує.
Лемма (Про лінійно залежну систему, що породжує.)
Якщо в лінійно залежній і породжувальній системі векторів один із векторів лінійно виражається через інші, то його можна видалити з системи і система векторів, що залишилася, буде породжує.
Доведення. Нехай система лінійно залежна і породжує, і нехай один із її векторів лінійно виражається через інші вектори цієї системи.
Для визначеності та для простоти запису припустимо, що
.
Оскільки - породжує система, то знайдеться такий набір скалярів, що
.
,
тобто. будь-який вектор х лінійно виражається через вектори системи, а це означає, що вона є системою, що породжує, ч.т.д.
Наслідок 1. Лінійно залежна та породжувальна система векторів не є мінімальною.
Доведення. Відразу ж випливає з леми і визначення мінімальної системи векторів, що породжує.
Наслідок 2. Мінімальна система векторів, що породжує, є лінійнонезалежною.
Доведення. Допустивши неприємне, приходимо до суперечності зі слідством 1.
Визначення. p align="justify"> Система векторів векторного простору називається максимальною лінійно незалежною системою, якщо при додаванні до цієї системи будь-якого вектора вона стає лінійно залежною.
Зауваження. З визначення відразу слід, що й система є лінійно незалежної, але з максимальної, то знайдеться вектор, при додаванні якого до системи, виходить лінійно незалежна система.
Визначення. Базисом векторного простору над полем K називається впорядкована система його векторів, що представляє будь-який вектор векторного простору єдиним способом.
Інакше висловлюючись, система векторів векторного простору V над полем K називається його базисом, якщо є єдиний набір скалярів , такий, що .
Теорема. (Про чотири рівносильні визначення базису.)
Нехай упорядкована система векторів векторного простору. Тоді такі твердження рівносильні:
1. Система є базисом.
2. Система є лінійно незалежною та породжувальною системою векторів.
3. Система є максимальною лінійно незалежною системою векторів.
4. Система є мінімальною системою векторів, що породжує.
. Нехай система векторів є базисом. З визначення базису відразу ж випливає, що ця система векторів є системою векторів векторного простору, що породжує, тому нам потрібно тільки довести її лінійну незалежність.
Припустимо, що система векторів лінійно залежна. Тоді існує два уявлення нульового вектора – тривіальне та нетривіальне, що суперечить визначенню базису.
. Нехай система векторів є лінійно незалежною тащо породжує. Нам потрібно довести, що ця лінійно незалежна система є максимальною.
Допустимо неприємне. Нехай ця лінійно незалежна система векторів не є максимальною. Тоді, через зауваження вище, знайдеться вектор, який можна буде додати до цієї системи і отримана система векторів залишається лінійно незалежною. Однак, з іншого боку, доданий до системи вектор може бути представлений у вигляді лінійної комбінації вихідної системи векторів через те, що вона є системою, що породжує.
І ми отримуємо, що в новій, розширеній системі векторів один з її векторів лінійно виражається через інші вектори цієї системи. Така система векторів є лінійно залежною. Набули протиріччя.
. Нехай система векторів векторного простору є максимально лінійно незалежною. Доведемо, що вона є мінімальною системою, що породжує.
а) Спочатку доведемо, що вона є системою, що породжує.
Зауважимо, що в силу лінійної незалежності система не містить нульового вектора. Нехай довільний ненульовий вектор. Додамо його до цієї системи векторів: . Система ненульових векторів, що вийшла, є лінійно залежною, т.к. вихідна система векторів максимальна лінійно незалежна. Значить, у цій системі, знайдеться вектор, що лінійно виражається через попередні. У вихідній лінійно незалежній системі жоден із векторів не може виражатися через попередні, отже, лінійно виражається через попередні лише вектор х. Таким чином, система представляє будь-який вектор. Залишилося зауважити, що це система, зрозуміло, представляє і нульовий вектор, тобто. система є породжувальною.
б) Тепер доведемо її мінімальність. Допустимо неприємне. Тоді один із векторів системи можебути видалений із системи і система векторів, що залишилася, як і раніше, що породжує системою і, отже, віддалений із системи вектор теж лінійно виражається через вектори системи, що залишилися, що суперечить лінійній незалежності вихідної системи векторів.
. Нехай система векторів векторного простору є мінімальною системою, що породжує. Тоді вона представляє будь-який векторний вектор простору. Нам треба довести єдиність уявлення.
Допустимо неприємне. Нехай який-небудь вектор х лінійно виражається через вектори даної системи двома різними способами:
та .
Віднімаючи з однієї рівності іншу, отримуємо:
.
З огляду на слідства 2, система є лінійно незалежної, тобто. представляє нульовий вектор тільки тривмально, тому всі коефіцієнти цієї лінійної комбінації повинні дорівнювати нулю:
.
Таким чином, будь-який вектор х лінійно виражається через вектори даної системи єдиним способом, т.д.