Будова теореми

Закон контрапозиції дає можливість замінити доказ теореми 1 доказом теореми 4 чи навпаки.

Слідство із закону контрапозиції: теореми 2 і 3 одночасно істинні і одночасно помилкові (довести самостійно).

Висновки. Аналіз міркувань. Найпростіші правила виведення

У повсякденному мовленні слово «міркування» застосовується широко. Ми під міркуванням розумітимемо такі логічні дії, при яких з однієї або кількох пропозицій виходить нова пропозиція, що містить нове знання. При цьому вихідні пропозиції називатимемопосилками, а нова пропозиція –висновком.

НехайA1,A2,A3,.An- посилки, аВ- висновок. Тоді висновки записують наступним чином:

. Риса відокремлює посилки від ув'язнення, а промови відповідає слову «отже» чи «значить».

Міркування вважаєтьсяправильним, якщо з його допомогою з справжніх посилок не можна отримати хибне висновок.

Міркування, що допускає отримання помилкового висновку з справжніх посилок, вважатимемонеправильним.

Залежно від того, чи існує між посилками та укладанням відношення логічного слідування, виділяють два види висновків:дедуктивні та індуктивні.

Визначення:Дедуктивнеумовивід – це умовивід між посилками та укладанням якого має місце відношення логічного слідування.

Дедуктивні умовиводи – завжди правильні висновки, тобто. такі при яких із справжніх посилок завжди випливає справжнє висновок.

Недедуктивнірозумні висновки – це умовиводи, в яких між посилками і висновком немає логічного слідування.

Відсутність логічного слідування означає, що у процесі міркування з справжніх посилок можна отримати хибний висновок.

Які ж умови, за яких міркування буде дедуктивним? Розглянемо приклади міркувань.

Приклад 1. Якщо натуральне числохділиться на 4, воно ділиться на 2. Число 28 ділиться на 4. Отже, воно ділиться на 2.

Загальна посилка: Якщо натуральне числохділиться на 4, воно ділиться на 2.

Приватна посилка: Число 28 ділиться на 4.

Висновок: Число 28 ділиться на 2.

У цьому висновку і посилки та висновок є справжніми висловлюваннями. Можна припустити, що це міркування є дедуктивним. Щоб бути впевненими в цьому, необхідно переконатися в тому, що істинність посилок у міркуванні є достатньою умовою для отримання істинного висновку. Однак, це не так. Розглянемо інший приклад.

Приклад 2: Якщо натуральне число ділиться на 4, воно ділиться на 2. Число 22 ділиться на 2. Отже, воно ділиться на 4.

Загальна посилка: Якщо натуральне числохділиться на 4, воно ділиться на 2.

Приватна посилка: Число 22 ділиться на 2.

Висновок: Число 22 ділиться на 4.

У цьому міркуванні посилки вірні, проте висновок є хибним. Отже, ця міркування не є дедуктивною.

Таким чином,істинність посилок - це не достатня (не єдина) умова, що забезпечує дедуктивність (правильність) міркування.

Порівняємо розглянуті нами міркування.

У загальній посилці йдеться про деяку кількістьх. Відомо, що воно ділиться на 4. Це предикат, позначимо його

. Ще відомо, що це числохділиться на 2. Позначимо:. Загальна посилка задана у формі імплікації, заданої на множиніN: .

У приватній посилці йдеться про деяке конкретне натуральне число (х = а= 28), яке ділиться на 4. Отже, приватна посилка є висловлюванням:

.

Висновок є висловлюванням:

. Тоді висновок (1) матиме таку структуру:.

У другому висновку загальна посилка та ж:. Приватна посилка:

. Висновок:. Тоді структура другого висновку має вигляд:.

Як бачимо, схеми міркувань різні. Схема, яку використовували у першому міркуванні, призвела до вірного висновку, тоді як у другому – до хибного.

Таким чином, істинність посилок не завжди забезпечує істинність укладання, необхідно ще міркувати за такими правилами (схемами), які забезпечують такий висновок.

---