Центрошвидке прискорення - висновок формули та практичне застосування
Центрошвидке прискорення супроводжує нас всюди. Саме воно змушує нашу Землю обертатися довкола Сонця. Сила тяжіння, що при цьому виникає, дозволяє нам існувати на цій планеті. Як можна зрозуміти, що є доцентровим прискоренням? Визначення цієї фізичної величини наведено нижче.
Спостереження
Найпростіший приклад прискорення тіла, що рухається коло, можна спостерігати, обертаючи камінь на мотузці. Ви тягнете мотузку, а мотузка тягне камінь до центру. Кожного моменту мотузка повідомляє каменю деяку кількість руху, і щоразу – у новому напрямку. Можна уявити рух мотузки як серії слабких ривків. Ривок – і мотузка змінює свій напрямок, ще ривок – ще раз зміна, і так по колу. Якщо ви раптово відпустите мотузку, ривки припиняться, а разом з ними і припиниться зміна напрямку швидкості. Камінь рухатиметься у напрямку до кола. Виникає питання: "З яким прискоренням рухатиметься тіло цієї миті?"
Формула доцентрового прискорення
Насамперед варто зауважити, що рух тіла по колу є складним. Камінь бере участь у двох видах руху одночасно: під дією сили він рухається до центру обертання, і одночасно по дотичній до кола від цього центру віддаляється. Згідно з Другим законом Ньютона, сила, яка утримує камінь на мотузці, спрямована до центру обертання вздовж цієї мотузки. Туди буде направлено вектор прискорення.
Нехай за деякий час t наш камінь, рівномірно рухаючись зі швидкістю V, потрапляє з точки A до точки B. Припустимо, що в момент часу, коли тіло перетинало точку B, на нього перестала діяти відцентрова сила. Тоді за проміжок часу воно потрапило б у крапкуK. Вона лежить на дотичній. Якби в той же момент часу на тіло діяли б тільки доцентрові сили, то за час t, рухаючись з однаковим прискоренням, воно виявилося б у точці O, яка розташована на прямій, що представляє собою діаметр кола. Обидва відрізки є векторами і підпорядковуються правилу векторного додавання. В результаті підсумовування цих двох рухів за відрізок часу t отримуємо результуючу рух по дузі AB.
Якщо проміжок часу t взяти зневажливо малим, то дуга AB мало відрізнятиметься від хорди AB. Таким чином, можна замінити рух дугою рухом по хорді. У цьому випадку переміщення каменю по хорді підпорядковуватиметься законам прямолінійного руху, тобто пройдена відстань AB дорівнює твору швидкості каменю на час його руху. AB = V x t.
Позначимо шукане доцентрове прискорення буквою a. Тоді пройдений тільки під дією доцентрового прискорення шлях можна розрахувати за формулою рівноприскореного руху:
Відстань AB дорівнює добутку швидкості та часу, тобто AB = V х t,
AO – обчислено раніше за формулою рівноприскореного руху для переміщення прямою: AO = at 2 / 2.
Підставляючи ці дані у формулу та перетворюючи їх, отримуємо просту та витончену формулу доцентрового прискорення:
Словами це можна висловити так: доцентрове прискорення тіла, що рухається по колу, дорівнює приватному від розподілу лінійної швидкості в квадраті на радіус кола, по якому обертається тіло. Відцентрова сила в такому випадку буде виглядати так, як на малюнку нижче.
Кутова швидкість
Кутова швидкість дорівнює частці від поділу лінійної швидкості на радіус кола. Правильне і зворотне твердження: V = ωR,де ω – кутова швидкість
Якщо підставити це значення формулу, можна отримати вираз відцентрового прискорення для кутової швидкості. Воно буде виглядати так:
Прискорення без зміни швидкості
І все-таки, чому тіло з прискоренням, спрямованим до центру, не рухається швидше і не переміщується ближче до центру обертання? Відповідь у самому формулюванні прискорення. Факти говорять про те, що рух по колу реальний, але для його підтримки потрібне прискорення, спрямоване до центру. Під дією сили, викликаної даним прискоренням, відбувається зміна кількості руху, у результаті траєкторія руху постійно викривляється, постійно змінюючи напрямок вектора швидкості, але з змінюючи її абсолютної величини. Рухаючись по колу, наш багатостраждальний камінь прямує всередину, інакше він продовжував би рухатися по дотичній. Кожну мить часу, йдучи дотичною, камінь притягується до центру, але не потрапляє до нього. Ще одним прикладом доцентрового прискорення може стати водний лижник, що описує невеликі кола на воді. Фігура спортсмена нахилена; він ніби падає, продовжуючи рух і нахилившись уперед.
Отже, можна дійти невтішного висновку у тому, що прискорення не збільшує швидкість тіла, оскільки вектори швидкості і прискорення перпендикулярні друг до друга. Додаючись до вектора швидкості, прискорення лише змінює напрямок руху та утримує тіло на орбіті.
Перевищення запасу міцності
У попередньому досвіді ми мали справу з ідеальним мотузком, який не рвався. Але, припустимо, наша мотузка звичайнісінька, і навіть можна обчислити зусилля, після якого вона просто порветься. Щоб розрахувати цю силу, досить зіставити запас міцності мотузки з навантаженням, яке вонавідчуває у процесі обертання каменю. Обертаючи камінь з більшою швидкістю, ви повідомляєте йому більше руху, а значить, і більше прискорення.
При діаметрі джутової мотузки близько 20 мм її міцність на розрив дорівнює близько 26 кН. Цікаво, що довжина мотузки ніде не фігурує. Обертаючи вантаж розміром 1 кг на мотузці радіусом в 1 м, можна обчислити, що лінійна швидкість, необхідна для її розриву дорівнює 26 х 10 3 = 1кг х V 2 / 1 м. Таким чином, швидкість, яку небезпечно перевищуватиме, буде дорівнює √ 26 х 103 = 161 м/с.
Сила тяжіння
При розгляді досвіду ми нехтували дією сили тяжіння, оскільки за таких великих швидкостях її вплив зневажливо мало. Але можна помітити, що при розкручуванні довгої мотузки тіло описує складнішу траєкторію і поступово наближається до землі.
Небесні тіла
Якщо перенести закони руху по колу в космос і застосувати їх до руху небесних тіл, можна знову відкрити кілька давно знайомих формул. Наприклад, сила, з якою тіло притягується до Землі, відома за такою формулою:
У нашому випадку множник g і є тим самим доцентровим прискоренням, яке було виведено з попередньої формули. Тільки в цьому випадку роль каменя виконуватиме небесне тіло, що притягається до Землі, а роль мотузки – сила земного тяжіння. Множник g буде виражений через радіус нашої планети та швидкість її обертання.
Сутність доцентрового прискорення полягає у важкій і невдячній роботі утримання рухомого тіла на орбіті. Спостерігається парадоксальний випадок, коли за постійного прискорення тіло не змінює величини своєї швидкості. Для непідготовленого розуму така заява є досить парадоксальною. Тим не менш і при розрахунку руху електрона навколоядра, і при обчисленні швидкості обертання зірки навколо чорної діри, доцентрової прискорення грає не останню роль.