Чи можна обчислити площу сніжинки Коха у рубриці Математичний блог
Чи можна обчислити площу сніжинки Коха? Обчислимо? 🙂
20 Responses to Чи можна обчислити площу сніжинки Коха?
Підсумовування ряду має бути. Візьмемо один трикутник. У нього два нащадки, праворуч і ліворуч. трикутники все рівносторонні. Ширина сторони втричі менша за предка, площа менша в 9 разів.
продовжу почате RaBig. Шлях площа першого, вихідного трикутника дорівнює S. Просунемося на один крок (зробимо одне відображення). Вийде шестикутна зірка Давида. Якщо розбити вихідний трикутник на 9 маленьких рівносторонніх трикутників, то вийде, що додалося три з них. Тобто площа збільшилася на 3*(S/9). У результаті площа зірки Давида дорівнює S+3*(S/9)=S(1+3/9). Запам'ятаємо, що було 3 грані у трикутника. До кожної грані ми додали по трикутному виросту і замість однієї грані стало 4. Відповідно, загалом у фігури тепер 3*4=12 граней. Окей. Площа кожного з маленьких трикутників, які ми додаємо на наступному кроці дорівнює 1/9 від трикутника на попередньому кроці. Тобто (S/9)/9. До кожної з 12 граней треба додати по такому маленькому трикутнику. Тобто площа фігури збільшиться на 12*((S/9)/9). А кількість граней дорівнюватиме 12 (на попередньому кроці)*4=48.
Звідки найвдумливіші одразу здогадаються, як виглядатиме загальна формула:
А це проста геометрична прогресія, відома кожному зі шкільних часів. Порахувати її не важко:
Тобто площа сніжинки Коха дорівнює 8/5 від площі вихідного трикутника.